Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresico 42339
Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
liminfresico (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfresico.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21rexrd 10689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10693 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6 ressxr 10683 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
74a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8 icossre 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
91, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
109adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11 liminfresico.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
1211eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1312biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1510, 14sseldd 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18 elicore 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206, 19sseldi 3951 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
2422, 23, 14icogelbd 42121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
266, 16sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
2726, 5, 17icogelbd 42121 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘𝑦)
2821, 16, 19, 25, 27letrd 10795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑦)
2919ltpnfd 12513 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
303, 5, 20, 28, 29elicod 12784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
3130, 11eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝑍)
3231ssd 41636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33 resima2 5875 . . . . . . . . 9 ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3534ineq1d 4173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635infeq1d 8938 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3736mpteq2dva 5147 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3837rneqd 5795 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3911, 9eqsstrid 4001 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
4039mptima2 41808 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4139mptima2 41808 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4238, 40, 413eqtr4d 2869 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
4342supeq1d 8907 . 2 (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44 eqid 2824 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 liminfresico.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
4645resexd 41694 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
4711supeq1i 8908 . . . . 5 sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
4847a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
491renepnfd 10690 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ +∞)
50 icopnfsup 13237 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
512, 49, 50syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
5248, 51eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5344, 46, 39, 52liminfval2 42336 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54 eqid 2824 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5554, 45, 39, 52liminfval2 42336 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
5643, 53, 553eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  cres 5544  cima 5545  cfv 6343  (class class class)co 7149  supcsup 8901  infcinf 8902  cr 10534  +∞cpnf 10670  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  [,)cico 12737  lim infclsi 42319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-ico 12741  df-liminf 42320
This theorem is referenced by:  liminfresre  42347  liminfresicompt  42348  liminfresuz  42352
  Copyright terms: Public domain W3C validator