Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresico 40893
Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
liminfresico (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfresico.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21rexrd 10426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10430 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6 ressxr 10420 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
74a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8 icossre 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
91, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
109adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11 liminfresico.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
1211eleq2i 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1312biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1413adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1510, 14sseldd 3821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
1615adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18 elicore 12538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 17, 18syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206, 19sseldi 3818 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
211ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
2422, 23, 14icogelbd 40675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2524adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
266, 16sseldi 3818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
2726, 5, 17icogelbd 40675 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘𝑦)
2821, 16, 19, 25, 27letrd 10533 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑦)
2919ltpnfd 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
303, 5, 20, 28, 29elicod 12536 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
3130, 11syl6eleqr 2869 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝑍)
3231ssd 40165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33 resima2 5681 . . . . . . . . 9 ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3534ineq1d 4035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635infeq1d 8671 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3736mpteq2dva 4979 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3837rneqd 5598 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3911, 9syl5eqss 3867 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
4039mptima2 40352 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4139mptima2 40352 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4238, 40, 413eqtr4d 2823 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
4342supeq1d 8640 . 2 (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44 eqid 2777 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 liminfresico.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
4645resexd 40230 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
4711supeq1i 8641 . . . . 5 sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
4847a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
491renepnfd 10427 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ +∞)
50 icopnfsup 12983 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
512, 49, 50syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
5248, 51eqtrd 2813 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5344, 46, 39, 52liminfval2 40890 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54 eqid 2777 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5554, 45, 39, 52liminfval2 40890 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
5643, 53, 553eqtr4d 2823 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  Vcvv 3397  cin 3790  wss 3791   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  cres 5357  cima 5358  cfv 6135  (class class class)co 6922  supcsup 8634  infcinf 8635  cr 10271  +∞cpnf 10408  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  [,)cico 12489  lim infclsi 40873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-ico 12493  df-liminf 40874
This theorem is referenced by:  liminfresre  40901  liminfresicompt  40902  liminfresuz  40906
  Copyright terms: Public domain W3C validator