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Theorem liminfresico 44098
Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresico.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
liminfresico (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝑍)) = (lim infβ€˜πΉ))

Proof of Theorem liminfresico
Dummy variables π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfresico.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
21rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11214 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6 ressxr 11204 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† ℝ*
74a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
8 icossre 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑀[,)+∞) βŠ† ℝ)
91, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀[,)+∞) βŠ† ℝ)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀[,)+∞) βŠ† ℝ)
11 liminfresico.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
1211eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (𝑀[,)+∞))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ (𝑀[,)+∞))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀[,)+∞))
1510, 14sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞))
18 elicore 13322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
206, 19sselid 3943 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
222adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
2422, 23, 14icogelbd 43882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
266, 16sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
2726, 5, 17icogelbd 43882 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑦)
2821, 16, 19, 25, 27letrd 11317 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑀 ≀ 𝑦)
2919ltpnfd 13047 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 < +∞)
303, 5, 20, 28, 29elicod 13320 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
3130, 11eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑍)
3231ssd 43378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜[,)+∞) βŠ† 𝑍)
33 resima2 5973 . . . . . . . . 9 ((π‘˜[,)+∞) βŠ† 𝑍 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
3534ineq1d 4172 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635infeq1d 9418 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3736mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3837rneqd 5894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3911, 9eqsstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† ℝ)
4039mptima2 43560 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍) = ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4139mptima2 43560 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍) = ran (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4238, 40, 413eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍) = ((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍))
4342supeq1d 9387 . 2 (πœ‘ β†’ sup(((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
44 eqid 2733 . . 3 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 liminfresico.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
4645resexd 5985 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑍) ∈ V)
4711supeq1i 9388 . . . . 5 sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
4847a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
491renepnfd 11211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  +∞)
50 icopnfsup 13776 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 β‰  +∞) β†’ sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
512, 49, 50syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
5248, 51eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5344, 46, 39, 52liminfval2 44095 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝑍)) = sup(((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 β†Ύ 𝑍) β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
54 eqid 2733 . . 3 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5554, 45, 39, 52liminfval2 44095 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(((π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) β€œ 𝑍), ℝ*, < ))
5643, 53, 553eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝑍)) = (lim infβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  infcinf 9382  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  [,)cico 13272  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-ico 13276  df-liminf 44079
This theorem is referenced by:  liminfresre  44106  liminfresicompt  44107  liminfresuz  44111
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