Theorem liminfresico 45692

Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
liminfresico	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfresico.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6		ressxr 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
7	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8		icossre 13488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
9	1, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11		liminfresico.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
12	11	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
15	10, 14	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18		elicore 13459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20	6, 19	sselid 4006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
21	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
24	22, 23, 14	icogelbd 45476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
26	6, 16	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
27	26, 5, 17	icogelbd 45476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ≤ 𝑦)
28	21, 16, 19, 25, 27	letrd 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑦)
29	19	ltpnfd 13184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
30	3, 5, 20, 28, 29	elicod 13457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	30, 11	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑍)
32	31	ssd 44982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33		resima2 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
35	34	ineq1d 4240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	infeq1d 9546	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
37	36	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
38	37	rneqd 5963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
39	11, 9	eqsstrid 4057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
40	39	mptimass 6102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
41	39	mptimass 6102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
42	38, 40, 41	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
43	42	supeq1d 9515	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45		liminfresico.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
46	45	resexd 6057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
47	11	supeq1i 9516	. . . . 5 ⊢ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
49	1	renepnfd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ +∞)
50		icopnfsup 13916	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
51	2, 49, 50	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
52	48, 51	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
53	44, 46, 39, 52	liminfval2 45689	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
55	54, 45, 39, 52	liminfval2 45689	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
56	43, 53, 55	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  infcinf 9510  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  lim infclsi 45672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ico 13413  df-liminf 45673

This theorem is referenced by:  liminfresre  45700  liminfresicompt  45701  liminfresuz  45705