Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfresico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfresico 43549
Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfresico.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
liminfresico (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 liminfresico.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21rexrd 11098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11102 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6 ressxr 11092 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
74a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8 icossre 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
91, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11 liminfresico.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
1211eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
1510, 14sseldd 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18 elicore 13204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
206, 19sselid 3929 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
234a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
2422, 23, 14icogelbd 43333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀𝑘)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑘)
266, 16sselid 3929 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
2726, 5, 17icogelbd 43333 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘𝑦)
2821, 16, 19, 25, 27letrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀𝑦)
2919ltpnfd 12930 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
303, 5, 20, 28, 29elicod 13202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
3130, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝑍)
3231ssd 42851 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33 resima2 5945 . . . . . . . . 9 ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3534ineq1d 4156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
3635infeq1d 9306 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3736mpteq2dva 5187 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3837rneqd 5866 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
3911, 9eqsstrid 3979 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
4039mptima2 43020 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4139mptima2 43020 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
4238, 40, 413eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
4342supeq1d 9275 . 2 (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44 eqid 2737 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 liminfresico.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
4645resexd 5957 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ V)
4711supeq1i 9276 . . . . 5 sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
4847a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
491renepnfd 11099 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ +∞)
50 icopnfsup 13658 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
512, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
5248, 51eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5344, 46, 39, 52liminfval2 43546 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54 eqid 2737 . . 3 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5554, 45, 39, 52liminfval2 43546 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
5643, 53, 553eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝐹𝑍)) = (lim inf‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  Vcvv 3441  cin 3896  wss 3897   class class class wbr 5087  cmpt 5170  ran crn 5608  cres 5609  cima 5610  cfv 6465  (class class class)co 7315  supcsup 9269  infcinf 9270  cr 10943  +∞cpnf 11079  *cxr 11081   < clt 11082  cle 11083  [,)cico 13154  lim infclsi 43529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-q 12762  df-ico 13158  df-liminf 43530
This theorem is referenced by:  liminfresre  43557  liminfresicompt  43558  liminfresuz  43562
  Copyright terms: Public domain W3C validator