Theorem liminfresico 46220

Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
liminfresico	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfresico.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6		ressxr 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
7	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8		icossre 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11		liminfresico.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
12	11	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
15	10, 14	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18		elicore 13345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20	6, 19	sselid 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
21	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
24	22, 23, 14	icogelbd 13344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
26	6, 16	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
27	26, 5, 17	icogelbd 13344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ≤ 𝑦)
28	21, 16, 19, 25, 27	letrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑦)
29	19	ltpnfd 13066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
30	3, 5, 20, 28, 29	elicod 13342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	30, 11	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑍)
32	31	ssd 45532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33		resima2 5976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
35	34	ineq1d 4160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	infeq1d 9385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
37	36	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
38	37	rneqd 5888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
39	11, 9	eqsstrid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
40	39	mptimass 6033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
41	39	mptimass 6033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
42	38, 40, 41	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
43	42	supeq1d 9353	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45		liminfresico.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
46	45	resexd 5988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
47	11	supeq1i 9354	. . . . 5 ⊢ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
49	1	renepnfd 11190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ +∞)
50		icopnfsup 13818	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
51	2, 49, 50	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
52	48, 51	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
53	44, 46, 39, 52	liminfval2 46217	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
55	54, 45, 39, 52	liminfval2 46217	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
56	43, 53, 55	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626   ↾ cres 5627   “ cima 5628  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9347  infcinf 9348  ℝcr 11031  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  [,)cico 13294  lim infclsi 46200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-ico 13298  df-liminf 46201

This theorem is referenced by:  liminfresre  46228  liminfresicompt  46229  liminfresuz  46233