Theorem liminfresico 46920

Description: The inferior limit doesn't change when a function is restricted to an upperset of reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfresico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfresico.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
liminfresico.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
liminfresico	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

Proof of Theorem liminfresico

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfresico.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6		ressxr 11363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
7	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8		icossre 13569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11		liminfresico.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
12	11	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
13	12	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
14	10, 13	sseldd 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
17		elicore 13539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	6, 18	sselid 3910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
20	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
22	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
23	21, 22, 13	icogelbd 13538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
25	6, 15	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
26	25, 5, 16	icogelbd 13538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ≤ 𝑦)
27	20, 15, 18, 24, 26	letrd 11477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑦)
28	18	ltpnfd 13260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
29	3, 5, 19, 27, 28	elicod 13536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
30	29, 11	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑍)
31	30	ssd 46236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
32		resima2 6062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
34	33	ineq1d 4118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
35	34	infeq1d 9480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
36	35	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
37	36	rneqd 5924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
38	11, 9	eqsstrid 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
39	38	mptimass 6076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
40	38	mptimass 6076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
41	37, 39, 40	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
42	41	supeq1d 9448	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
43		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
44		liminfresico.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
45	44	resexd 6022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
46	11	supeq1i 9449	. . . . 5 ⊢ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
48	1	renepnfd 11370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ +∞)
49		icopnfsup 14015	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
50	2, 48, 49	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
51	47, 50	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
52	43, 45, 38, 51	liminfval2 46917	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
53		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54	53, 44, 38, 51	liminfval2 46917	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(((𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
55	42, 52, 54	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim inf‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655   ↾ cres 5656   “ cima 5657  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  supcsup 9442  infcinf 9443  ℝcr 11209  +∞cpnf 11350  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354  [,)cico 13488  lim infclsi 46900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-ico 13492  df-liminf 46901

This theorem is used by:  liminfresre  46928  liminfresicompt  46929  liminfresuz  46933