Theorem isofr2 7346

Description: A weak form of isofr 7344 that does not need Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isofr2	⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 Fr 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐴))

Proof of Theorem isofr2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		imassrn 6067	. . . 4 ⊢ (𝐻 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
3		isof1o 7325	. . . . 5 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
4		f1of 6818	. . . . 5 ⊢ (𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
5		frn 6711	. . . . 5 ⊢ (𝐻:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐻 ⊆ 𝐵)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ran 𝐻 ⊆ 𝐵)
7	2, 6	sstrid 3942	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻 “ 𝑥) ⊆ 𝐵)
8		ssexg 5284	. . 3 ⊢ (((𝐻 “ 𝑥) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
9	7, 8	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
10	1, 9	isofrlem 7342	1 ⊢ ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑆 Fr 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   Fr wfr 5605  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532   Isom wiso 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-fr 5608  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542

This theorem is used by: (None)