MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isofr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isofr 6916
Description: An isomorphism preserves well-foundedness. Proposition 6.32(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isofr (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))

Proof of Theorem isofr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 6904 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 id 22 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isof1o 6897 . . . . 5 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 6443 . . . . 5 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
5 vex 3411 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
65funimaex 6271 . . . . 5 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
73, 4, 63syl 18 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
82, 7isofrlem 6914 . . 3 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
91, 8syl 17 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
10 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11 isof1o 6897 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1ofun 6443 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
135funimaex 6271 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1510, 14isofrlem 6914 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Fr 𝐵𝑅 Fr 𝐴))
169, 15impbid 204 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2051  Vcvv 3408   Fr wfr 5359  ccnv 5402  cima 5406  Fun wfun 6179  1-1-ontowf1o 6184   Isom wiso 6186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-id 5308  df-fr 5362  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194
This theorem is referenced by:  isowe  6923  wofib  8802  isfin1-4  9605
  Copyright terms: Public domain W3C validator