MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isofr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isofr 7332
Description: An isomorphism preserves well-foundedness. Proposition 6.32(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isofr (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))

Proof of Theorem isofr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 7320 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 id 22 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isof1o 7313 . . . . 5 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 6826 . . . . 5 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
5 vex 3470 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
65funimaex 6627 . . . . 5 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
73, 4, 63syl 18 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
82, 7isofrlem 7330 . . 3 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
91, 8syl 17 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
10 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11 isof1o 7313 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1ofun 6826 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
135funimaex 6627 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1510, 14isofrlem 7330 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Fr 𝐵𝑅 Fr 𝐴))
169, 15impbid 211 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  Vcvv 3466   Fr wfr 5619  ccnv 5666  cima 5670  Fun wfun 6528  1-1-ontowf1o 6533   Isom wiso 6535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-fr 5622  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543
This theorem is referenced by:  isowe  7339  wofib  9537  isfin1-4  10379
  Copyright terms: Public domain W3C validator