Theorem isofr 7342

Description: An isomorphism preserves well-foundedness. Proposition 6.32(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isofr	⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ↔ 𝑆 Fr 𝐵))

Proof of Theorem isofr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 7330	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → ◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3		isof1o 7323	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → ◡𝐻:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1ofun 6818	. . . . 5 ⊢ (◡𝐻:𝐵–1-1-onto→𝐴 → Fun ◡𝐻)
5		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	funimaex 6619	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝐻 → (◡𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
7	3, 4, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (◡𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
8	2, 7	isofrlem 7340	. . 3 ⊢ (◡𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 → 𝑆 Fr 𝐵))
9	1, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 → 𝑆 Fr 𝐵))
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11		isof1o 7323	. . . 4 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1ofun 6818	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Fun 𝐻)
13	5	funimaex 6619	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐻 → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻 “ 𝑥) ∈ V)
15	10, 14	isofrlem 7340	. 2 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Fr 𝐵 → 𝑅 Fr 𝐴))
16	9, 15	impbid 215	1 ⊢ (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴 ↔ 𝑆 Fr 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   Fr wfr 5601  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  Fun wfun 6525  –1-1-onto→wf1o 6530   Isom wiso 6532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-fr 5604  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540

This theorem is used by:  isowe  7349  wofib  9523  isfin1-4  10446