MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isose Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isose 7345
Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isose (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))

Proof of Theorem isose
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isof1o 7325 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1ofun 6835 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
4 vex 3474 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54funimaex 6635 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
62, 3, 53syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
71, 6isoselem 7343 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
8 isocnv 7332 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
9 isof1o 7325 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1ofun 6835 . . . 4 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
114funimaex 6635 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
138, 12isoselem 7343 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Se 𝐵𝑅 Se 𝐴))
147, 13impbid 211 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2099  Vcvv 3470   Se wse 5625  ccnv 5671  cima 5675  Fun wfun 6536  1-1-ontowf1o 6541   Isom wiso 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-se 5628  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator