MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isose Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isose 7085
Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isose (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))

Proof of Theorem isose
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isof1o 7065 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1ofun 6610 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
4 vex 3495 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54funimaex 6434 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
62, 3, 53syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
71, 6isoselem 7083 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
8 isocnv 7072 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
9 isof1o 7065 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1ofun 6610 . . . 4 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
114funimaex 6434 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
138, 12isoselem 7083 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Se 𝐵𝑅 Se 𝐴))
147, 13impbid 213 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2105  Vcvv 3492   Se wse 5505  ccnv 5547  cima 5551  Fun wfun 6342  1-1-ontowf1o 6347   Isom wiso 6349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-se 5508  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator