MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isose Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isose 6819
Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isose (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))

Proof of Theorem isose
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isof1o 6799 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1ofun 6356 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
4 vex 3386 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54funimaex 6185 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
62, 3, 53syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
71, 6isoselem 6817 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
8 isocnv 6806 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
9 isof1o 6799 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
10 f1ofun 6356 . . . 4 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
114funimaex 6185 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
138, 12isoselem 6817 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Se 𝐵𝑅 Se 𝐴))
147, 13impbid 204 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Se 𝐴𝑆 Se 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2157  Vcvv 3383   Se wse 5267  ccnv 5309  cima 5313  Fun wfun 6093  1-1-ontowf1o 6098   Isom wiso 6100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-se 5270  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator