Theorem imassrn 6020

Description: The image of a class is a subset of its range. Theorem 3.16(xi) of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imassrn	⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem imassrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exsimpr 1870	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴) → ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
2	1	ss2abi 4018	. 2 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)} ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴}
3		dfima3 6012	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)}
4		dfrn3 5829	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴}
5	2, 3, 4	3sstr4i 3986	1 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4582  ran crn 5617   “ cima 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629

This theorem is referenced by:  0ima  6027  cnvimass  6031  f1imadifssran  6567  fimass  6671  isofrlem  7274  isofr2  7278  f1opw2  7601  imaexg  7843  f1oweALT  7904  frxp  8056  frxp2  8074  frxp3  8081  smores2  8274  naddunif  8608  naddasslem1  8609  naddasslem2  8610  ecss  8673  fopwdom  8998  sbthlem2  9001  sbthlem3  9002  sbthlem5  9004  sbthlem6  9005  ssenen  9064  ssfiALT  9083  fiint  9211  f1opwfi  9240  marypha1lem  9317  unxpwdom2  9474  tz9.12lem1  9680  djuin  9811  acndom2  9945  dfac12lem2  10036  isf34lem5  10269  isf34lem7  10270  isf34lem6  10271  enfin1ai  10275  hsmexlem4  10320  hsmexlem5  10321  fpwwe2lem5  10526  fpwwe2lem8  10529  tskuni  10674  limsupgle  15384  limsupval2  15387  limsupgre  15388  isercolllem2  15573  isercoll  15575  unbenlem  16820  imasless  17444  isacs1i  17563  isacs4lem  18450  mgmhmima  18623  mhmima  18733  cntzmhm  19254  f1omvdconj  19359  gsumzaddlem  19834  dmdprdd  19914  dprdfeq0  19937  dprdres  19943  dprdss  19944  dprdz  19945  subgdmdprd  19949  dprd2dlem1  19956  dprd2da  19957  dmdprdsplit2lem  19960  lmhmlsp  20984  frlmsslsp  21734  lindff1  21758  lindfrn  21759  f1lindf  21760  lindfmm  21765  lsslindf  21768  cnclsi  23188  cnprest2  23206  paste  23210  cmpfi  23324  connima  23341  1stcfb  23361  1stckgenlem  23469  kgencn3  23474  xkoco1cn  23573  xkoco2cn  23574  xkococnlem  23575  qtopval2  23612  basqtop  23627  imastopn  23636  kqopn  23650  kqcld  23651  hmeontr  23685  hmeores  23687  hmphdis  23712  cmphaushmeo  23716  qtopf1  23732  uzfbas  23814  elfm  23863  elfm3  23866  rnelfm  23869  cnextcn  23983  tgpconncomp  24029  qustgpopn  24036  tsmsf1o  24061  ustimasn  24144  utopbas  24151  restutop  24153  tgqioo  24716  cnheiborlem  24881  bndth  24885  fmcfil  25200  ovoliunlem1  25431  volsup  25485  uniioombllem4  25515  uniioombllem5  25516  opnmblALT  25532  volsup2  25534  mbfimaopnlem  25584  mbflimsup  25595  itg2gt0  25689  c1liplem1  25929  dvcnvrelem2  25951  mdegleb  25997  mdeglt  25998  mdegldg  25999  mdegxrcl  26000  mdegcl  26002  ig1peu  26108  efifo  26484  dvlog  26588  efopnlem2  26594  efopn  26595  bdayimaon  27633  noetasuplem4  27676  noetainflem4  27680  nobdaymin  27717  nocvxminlem  27718  noeta2  27725  etasslt2  27756  scutbdaybnd2lim  27759  oldf  27799  lrrecfr  27887  negsunif  27998  negsbdaylem  27999  bdayon  28210  zssno  28306  zs12bday  28395  f1otrg  28850  axcontlem10  28952  htthlem  30895  shsss  31291  imaelshi  32036  pjimai  32154  gsummpt2co  33026  gsumpart  33035  elrgspnsubrunlem2  33213  lsmsnorb  33354  dimkerim  33638  sitgclbn  34354  sitgaddlemb  34359  eulerpartlemgvv  34387  eulerpartlemgf  34390  coinfliprv  34494  ballotlemsima  34527  ballotlemro  34534  onvf1odlem4  35148  erdsze2lem2  35246  mrsubrn  35555  msubrn  35571  tailf  36415  dissneqlem  37380  poimirlem1  37667  poimirlem2  37668  poimirlem3  37669  poimirlem11  37677  poimirlem12  37678  poimirlem15  37681  poimirlem16  37682  poimirlem19  37685  poimirlem30  37696  itg2addnclem2  37718  itg2gt0cn  37721  ftc1anclem7  37745  ftc1anc  37747  ismtyima  37849  ismtyres  37854  heibor1lem  37855  reheibor  37885  elrfirn  42734  isnacs2  42745  isnacs3  42749  fnwe2lem2  43090  lmhmfgima  43123  brtrclfv2  43766  xphe  43820  imo72b2lem2  44206  imo72b2lem1  44208  imo72b2  44211  limccog  45666  liminfval2  45812  imaf1homlem  49145  imaidfu  49148