Theorem isoid 7338

Description: Identity law for isomorphism. Proposition 6.30(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoid	⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)

Proof of Theorem isoid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6866	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		fvresi 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝑥) = 𝑥)
3		fvresi 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝑦) = 𝑦)
4	2, 3	breqan12d 5130	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦) ↔ 𝑥𝑅𝑦))
5	4	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦)))
6	5	rgen2 3208	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦))
7		df-isom 6552	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦))))
8	1, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   class class class wbr 5114   I cid 5560   ↾ cres 5668  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552

This theorem is used by:  ordiso  9488