Theorem isoid 7250

Description: Identity law for isomorphism. Proposition 6.30(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoid	⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)

Proof of Theorem isoid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6799	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		fvresi 7095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝑥) = 𝑥)
3		fvresi 7095	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝑦) = 𝑦)
4	2, 3	breqan12d 5105	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦) ↔ 𝑥𝑅𝑦))
5	4	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦)))
6	5	rgen2 3190	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦))
7		df-isom 6482	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐴)‘𝑥)𝑅(( I ↾ 𝐴)‘𝑦))))
8	1, 6, 7	mpbir2an 708	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   class class class wbr 5089   I cid 5511   ↾ cres 5616  –1-1-onto→wf1o 6472  ‘cfv 6473   Isom wiso 6474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482

This theorem is referenced by:  ordiso  9365