Theorem ordiso 9476

Description: Order-isomorphic ordinal numbers are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordiso	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem ordiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2		isoid 7327	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)
3		isoeq1 7315	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
4	3	spcegv 3555	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
5	1, 2, 4	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
7		isoeq5 7319	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
8	7	exbidv 1950	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
9	6, 8	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
10		eloni 6370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
11		eloni 6370	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordiso2 9475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	12	3coml 1144	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵 ∧ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1138	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
16	15	exlimdv 1962	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
17	9, 16	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   I cid 5554   E cep 5559   ↾ cres 5662  Ord word 6359  Oncon0 6360   Isom wiso 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545

This theorem is used by: (None)