Theorem ordiso 9585

Description: Order-isomorphic ordinal numbers are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordiso	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem ordiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2		isoid 7365	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)
3		isoeq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
4	3	spcegv 3610	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
5	1, 2, 4	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
7		isoeq5 7357	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
8	7	exbidv 1920	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
9	6, 8	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
10		eloni 6405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
11		eloni 6405	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordiso2 9584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	12	3coml 1127	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵 ∧ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
16	15	exlimdv 1932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
17	9, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   I cid 5592   E cep 5598   ↾ cres 5702  Ord word 6394  Oncon0 6395   Isom wiso 6574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582

This theorem is referenced by: (None)