Theorem ordiso 9491

Description: Order-isomorphic ordinal numbers are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordiso	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem ordiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 7912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2		isoid 7333	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)
3		isoeq1 7321	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
4	3	spcegv 3554	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
5	1, 2, 4	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
7		isoeq5 7325	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
8	7	exbidv 1954	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
9	6, 8	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
10		eloni 6371	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
11		eloni 6371	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12		ordiso2 9490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	12	3coml 1145	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵 ∧ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
14	13	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
16	15	exlimdv 1966	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
17	9, 16	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   I cid 5553   E cep 5558   ↾ cres 5661  Ord word 6360  Oncon0 6361   Isom wiso 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546

This theorem is used by: (None)