MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordiso 8710
Description: Order-isomorphic ordinal numbers are equal. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem ordiso
StepHypRef Expression
1 resiexg 7381 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2 isoid 6851 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)
3 isoeq1 6839 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
43spcegv 3495 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
51, 2, 4mpisyl 21 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
65adantr 474 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴))
7 isoeq5 6843 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
87exbidv 1964 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐴) ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
96, 8syl5ibcom 237 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 → ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
10 eloni 5986 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
11 eloni 5986 . . . 4 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
12 ordiso2 8709 . . . . . 6 ((𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13123coml 1118 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
14133expia 1111 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1510, 11, 14syl2an 589 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1615exlimdv 1976 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
179, 16impbid 204 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2106  Vcvv 3397   I cid 5260   E cep 5265  cres 5357  Ord word 5975  Oncon0 5976   Isom wiso 6136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator