Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2a 44285
Description: Lemma 1 for isomuspgrlem2 44290. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2a (𝐹𝑋 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑒,𝐹,𝑥   𝑒,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑒)   𝐾(𝑒)

Proof of Theorem isomuspgrlem2a
StepHypRef Expression
1 isomuspgrlem2.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
21a1i 11 . . . 4 ((𝐹𝑋𝑒𝐸) → 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥)))
3 imaeq2 5903 . . . . 5 (𝑥 = 𝑒 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑒))
43adantl 485 . . . 4 (((𝐹𝑋𝑒𝐸) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑒))
5 simpr 488 . . . 4 ((𝐹𝑋𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
6 imaexg 7606 . . . . 5 (𝐹𝑋 → (𝐹𝑒) ∈ V)
76adantr 484 . . . 4 ((𝐹𝑋𝑒𝐸) → (𝐹𝑒) ∈ V)
82, 4, 5, 7fvmptd 6757 . . 3 ((𝐹𝑋𝑒𝐸) → (𝐺𝑒) = (𝐹𝑒))
98eqcomd 2828 . 2 ((𝐹𝑋𝑒𝐸) → (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
109ralrimiva 3174 1 (𝐹𝑋 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  Vcvv 3469  cmpt 5122  cima 5535  cfv 6334  Vtxcvtx 26787  Edgcedg 26838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fv 6342
This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  44287  isomuspgrlem2d  44288  isomuspgrlem2  44290
  Copyright terms: Public domain W3C validator