Theorem isomuspgrlem2a 45280

Description: Lemma 1 for isomuspgrlem2 45285. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2a	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑒,𝐹,𝑥   𝑒,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑒)   𝐾(𝑒)

Proof of Theorem isomuspgrlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomuspgrlem2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥)))
3		imaeq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑒))
4	3	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑒))
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
6		imaexg 7762	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹 “ 𝑒) ∈ V)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐹 “ 𝑒) ∈ V)
8	2, 4, 5, 7	fvmptd 6882	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹 “ 𝑒))
9	8	eqcomd 2744	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
10	9	ralrimiva 3103	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157   “ cima 5592  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  45282  isomuspgrlem2d  45283  isomuspgrlem2  45285