Theorem isomuspgrlem2a 42734

Description: Lemma 1 for isomuspgrlem2 42739. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2a	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑒,𝐹,𝑥   𝑒,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑒)   𝐾(𝑒)

Proof of Theorem isomuspgrlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomuspgrlem2.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥)))
3		imaeq2 5716	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑒))
4	3	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ 𝑒))
5		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → 𝑒 ∈ 𝐸)
6		imaexg 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → (𝐹 “ 𝑒) ∈ V)
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐹 “ 𝑒) ∈ V)
8	2, 4, 5, 7	fvmptd 6548	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹 “ 𝑒))
9	8	eqcomd 2783	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸) → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
10	9	ralrimiva 3147	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  Vcvv 3397   ↦ cmpt 4965   “ cima 5358  ‘cfv 6135  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  42736  isomuspgrlem2d  42737  isomuspgrlem2  42739