Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2d 42754
 Description: Lemma 4 for isomuspgrlem2 42756. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x (𝜑𝐹𝑋)
isomuspgrlem2.b (𝜑𝐵 ∈ USPGraph)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2d (𝜑𝐺:𝐸onto𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2d
Dummy variables 𝑒 𝑦 𝑐 𝑑 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomushgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2 isomushgr.w . . 3 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3 isomushgr.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4 isomushgr.k . . 3 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
6 isomuspgrlem2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
7 isomuspgrlem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
8 isomuspgrlem2.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8isomuspgrlem2b 42752 . 2 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
10 isomuspgrlem2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ USPGraph)
11 uspgrupgr 26529 . . . . . 6 (𝐵 ∈ USPGraph → 𝐵 ∈ UPGraph)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ UPGraph)
132, 4upgredg 26490 . . . . 5 ((𝐵 ∈ UPGraph ∧ 𝑦𝐾) → ∃𝑐𝑊𝑑𝑊 𝑦 = {𝑐, 𝑑})
1412, 13sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐾) → ∃𝑐𝑊𝑑𝑊 𝑦 = {𝑐, 𝑑})
15 eleq1 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = {𝑐, 𝑑} → (𝑦𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾))
1615anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = {𝑐, 𝑑} → ((𝜑𝑦𝐾) ↔ (𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾)))
17 f1ofo 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹:𝑉onto𝑊)
187, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑉onto𝑊)
19 foelrn 6644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝑉onto𝑊𝑐𝑊) → ∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚))
2018, 19sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝑊) → ∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚))
2120ex 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑐𝑊 → ∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚)))
22 foelrn 6644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝑉onto𝑊𝑑𝑊) → ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛))
2318, 22sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝑊) → ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛))
2423ex 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑑𝑊 → ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛)))
2521, 24anim12d 602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑐𝑊𝑑𝑊) → (∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚) ∧ ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛))))
2625adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) → ((𝑐𝑊𝑑𝑊) → (∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚) ∧ ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛))))
2726imp 397 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → (∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚) ∧ ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛)))
28 preq12 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑐 = (𝐹𝑚) ∧ 𝑑 = (𝐹𝑛)) → {𝑐, 𝑑} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
2928ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → {𝑐, 𝑑} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
3029eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾))
31 preq1 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 = 𝑚 → {𝑎, 𝑏} = {𝑚, 𝑏})
3231eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 = 𝑚 → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑚, 𝑏} ∈ 𝐸))
33 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 𝑚 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑚))
3433preq1d 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 = 𝑚 → {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)})
3534eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 = 𝑚 → ({(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
3632, 35bibi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 = 𝑚 → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑚, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾)))
37 preq2 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑏 = 𝑛 → {𝑚, 𝑏} = {𝑚, 𝑛})
3837eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑏 = 𝑛 → ({𝑚, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))
39 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑏 = 𝑛 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑛))
4039preq2d 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑏 = 𝑛 → {(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
4140eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑏 = 𝑛 → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾))
4238, 41bibi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑏 = 𝑛 → (({𝑚, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾)))
4336, 42rspc2va 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑚𝑉𝑛𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾)) → ({𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾))
4443bicomd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑚𝑉𝑛𝑉) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾)) → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))
4544ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))
4645biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))
4746ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)))
488, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)))
4948com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)} ∈ 𝐾 → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → (𝜑 → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)))
5030, 49syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾 → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → (𝜑 → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))))
5150com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾 → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸))))
5251imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)))
5352adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)))
5453imp31 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) → {𝑚, 𝑛} ∈ 𝐸)
55 imaeq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = {𝑚, 𝑛} → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ {𝑚, 𝑛}))
56 f1ofn 6394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑉)
577, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
5857ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
59 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → 𝑚𝑉)
60 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑉𝑛𝑉) → 𝑛𝑉)
6160adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → 𝑛𝑉)
6258, 59, 613jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉𝑚𝑉𝑛𝑉))
6362adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) → (𝐹 Fn 𝑉𝑚𝑉𝑛𝑉))
64 fnimapr 6524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 Fn 𝑉𝑚𝑉𝑛𝑉) → (𝐹 “ {𝑚, 𝑛}) = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) → (𝐹 “ {𝑚, 𝑛}) = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
6655, 65sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) ∧ 𝑒 = {𝑚, 𝑛}) → (𝐹𝑒) = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
6766eqeq2d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) ∧ 𝑒 = {𝑚, 𝑛}) → ({𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒) ↔ {𝑐, 𝑑} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)}))
6829adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) → {𝑐, 𝑑} = {(𝐹𝑚), (𝐹𝑛)})
6954, 67, 68rspcedvd 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) ∧ (𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚))) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))
7069ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ (𝑚𝑉𝑛𝑉)) → ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
7170anassrs 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑚𝑉) ∧ 𝑛𝑉) → ((𝑑 = (𝐹𝑛) ∧ 𝑐 = (𝐹𝑚)) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
7271expd 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑚𝑉) ∧ 𝑛𝑉) → (𝑑 = (𝐹𝑛) → (𝑐 = (𝐹𝑚) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))))
7372rexlimdva 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑚𝑉) → (∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛) → (𝑐 = (𝐹𝑚) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))))
7473com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑚𝑉) → (𝑐 = (𝐹𝑚) → (∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))))
7574rexlimdva 3213 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → (∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚) → (∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))))
7675impd 400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → ((∃𝑚𝑉 𝑐 = (𝐹𝑚) ∧ ∃𝑛𝑉 𝑑 = (𝐹𝑛)) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
7727, 76mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))
7877ex 403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐾) → ((𝑐𝑊𝑑𝑊) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
7916, 78syl6bi 245 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑐, 𝑑} → ((𝜑𝑦𝐾) → ((𝑐𝑊𝑑𝑊) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))))
8079impd 400 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑐, 𝑑} → (((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
8180impcom 398 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) → ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒))
82 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) → 𝑦 = {𝑐, 𝑑})
8382adantr 474 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → 𝑦 = {𝑐, 𝑑})
84 isomuspgrlem2.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑋)
8584ad4antr 722 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → 𝐹𝑋)
861, 2, 3, 4, 5isomuspgrlem2a 42751 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑋 → ∀𝑦𝐸 (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → ∀𝑦𝐸 (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
88 imaeq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑒 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑒))
89 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑒 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑒))
9088, 89eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑒 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)))
9190rspcv 3507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒𝐸 → (∀𝑦𝐸 (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) → (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)))
92 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑒) = (𝐹𝑒) ↔ (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
9391, 92syl6ibr 244 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸 → (∀𝑦𝐸 (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) → (𝐺𝑒) = (𝐹𝑒)))
9493adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → (∀𝑦𝐸 (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) → (𝐺𝑒) = (𝐹𝑒)))
9587, 94mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → (𝐺𝑒) = (𝐹𝑒))
9683, 95eqeq12d 2793 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) ∧ 𝑒𝐸) → (𝑦 = (𝐺𝑒) ↔ {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
9796rexbidva 3234 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) → (∃𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑐, 𝑑} = (𝐹𝑒)))
9881, 97mpbird 249 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) ∧ 𝑦 = {𝑐, 𝑑}) → ∃𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒))
9998ex 403 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ (𝑐𝑊𝑑𝑊)) → (𝑦 = {𝑐, 𝑑} → ∃𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒)))
10099rexlimdvva 3221 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐾) → (∃𝑐𝑊𝑑𝑊 𝑦 = {𝑐, 𝑑} → ∃𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒)))
10114, 100mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝐾) → ∃𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒))
102101ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐾𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒))
103 dffo3 6640 . 2 (𝐺:𝐸onto𝐾 ↔ (𝐺:𝐸𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾𝑒𝐸 𝑦 = (𝐺𝑒)))
1049, 102, 103sylanbrc 578 1 (𝜑𝐺:𝐸onto𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  {cpr 4400   ↦ cmpt 4967   “ cima 5360   Fn wfn 6132  ⟶wf 6133  –onto→wfo 6135  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  Vtxcvtx 26348  Edgcedg 26399  UPGraphcupgr 26432  USPGraphcuspgr 26501 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-hash 13440  df-edg 26400  df-upgr 26434  df-uspgr 26503 This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2e  42755
 Copyright terms: Public domain W3C validator