Theorem isomuspgrlem2b 46011

Description: Lemma 2 for isomuspgrlem2 46015. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
isomuspgrlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
isomuspgrlem2.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2b	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸⟶𝐾)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2b

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomuspgrlem2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
2		uspgrupgr 28127	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ UPGraph)
4		isomushgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5		isomushgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
6	4, 5	upgredg 28088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ UPGraph ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
8		isomuspgrlem2.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
9		preq12 4696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑})
10	9	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
11		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑐))
13		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑑))
15	12, 14	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} = {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)})
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾))
17	10, 16	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾)))
18	17	rspc2gv 3589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾)))
19	8, 18	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾)))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾)))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾))
22		bicom 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾) ↔ ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
23		bianir 1057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸)) → {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾)
24	23	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸) → {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾))
25	22, 24	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾) → {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾))
26		isomuspgrlem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
27		f1ofn 6785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → 𝐹 Fn 𝑉)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
31		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑐 ∈ 𝑉)
32		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → 𝑑 ∈ 𝑉)
33	30, 31, 32	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))) → (𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
35		fnimapr 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)})
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)})
37	36	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))) → {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
38	37	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))) → ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
39	38	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))) → ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
40	39	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → ({(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾 → (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
42	25, 41	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾) → (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
43	42	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑐), (𝐹‘𝑑)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
44	21, 43	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
45		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝑥 ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
46		imaeq2 6009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹 “ 𝑥) = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
47	46	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑥 ∈ 𝐸 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑥 ∈ 𝐸 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝐸 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
51	44, 50	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝐸 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾))
52	51	exp31 420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐸 → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾))))
53	52	com24 95	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐸 → ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾))))
54	53	imp31 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾))
55	54	rexlimdvva 3205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑑 ∈ 𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾))
56	7, 55	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
57	56	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
58		isomuspgrlem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
59	58	fmpt 7058	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾 ↔ 𝐺:𝐸⟶𝐾)
60	57, 59	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  Vtxcvtx 27947  Edgcedg 27998  UPGraphcupgr 28031  USPGraphcuspgr 28099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-edg 27999  df-upgr 28033  df-uspgr 28101

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  46012  isomuspgrlem2d  46013