Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2b 42734
 Description: Lemma 2 for isomuspgrlem2 42738. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2b (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2b
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomuspgrlem2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
2 uspgrupgr 26525 . . . . . 6 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ UPGraph)
4 isomushgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐴)
64, 5upgredg 26486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ UPGraph ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
73, 6sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
8 isomuspgrlem2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
9 preq12 4501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑})
109eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
11 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
1211adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
13 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1413adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1512, 14preq12d 4507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
1615eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
1710, 16bibi12d 337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
1817rspc2gv 3522 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
198, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2019adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2120imp 397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
22 bicom 214 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) ↔ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
23 bianir 1042 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸)) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)
2423ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
2522, 24syl5bi 234 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
26 isomuspgrlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
27 f1ofn 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑉)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
2928adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → 𝐹 Fn 𝑉)
3029adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
31 simprl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
32 simprr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
3330, 31, 323jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
3433adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
35 fnimapr 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3736eqcomd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
3837eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
3938biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4039ex 403 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4225, 41syld 47 . . . . . . . . . . 11 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4342com13 88 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4421, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
45 eleq1 2846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝑥𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
46 imaeq2 5716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
4746eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4845, 47imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4948adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5049adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5144, 50mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5251exp31 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5352com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐸 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5453imp31 410 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐸) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5554rexlimdvva 3220 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
567, 55mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
5756ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
58 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
5958fmpt 6644 . 2 (∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾𝐺:𝐸𝐾)
6057, 59sylib 210 1 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {cpr 4399   ↦ cmpt 4965   “ cima 5358   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395  UPGraphcupgr 26428  USPGraphcuspgr 26497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-edg 26396  df-upgr 26430  df-uspgr 26499 This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  42735  isomuspgrlem2d  42736
 Copyright terms: Public domain W3C validator