Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2b 44139
Description: Lemma 2 for isomuspgrlem2 44143. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2b (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2b
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomuspgrlem2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
2 uspgrupgr 26948 . . . . . 6 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ UPGraph)
4 isomushgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐴)
64, 5upgredg 26909 . . . . 5 ((𝐴 ∈ UPGraph ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
73, 6sylan 582 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
8 isomuspgrlem2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
9 preq12 4647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑})
109eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
11 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
1211adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
13 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1413adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1512, 14preq12d 4653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
1615eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
1710, 16bibi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
1817rspc2gv 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
198, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2019adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2120imp 409 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
22 bicom 224 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) ↔ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
23 bianir 1053 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸)) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)
2423ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
2522, 24syl5bi 244 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
26 isomuspgrlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
27 f1ofn 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑉)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
2928adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → 𝐹 Fn 𝑉)
3029adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
32 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
3330, 31, 323jca 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
3433adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
35 fnimapr 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3736eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
3837eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
3938biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4039ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4225, 41syld 47 . . . . . . . . . . 11 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4342com13 88 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4421, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
45 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝑥𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
46 imaeq2 5901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
4746eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4845, 47imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4948adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5049adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5144, 50mpbird 259 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5251exp31 422 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5352com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐸 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5453imp31 420 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐸) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5554rexlimdvva 3281 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
567, 55mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
5756ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
58 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
5958fmpt 6850 . 2 (∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾𝐺:𝐸𝐾)
6057, 59sylib 220 1 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  {cpr 4545  cmpt 5122  cima 5534   Fn wfn 6326  wf 6327  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  Vtxcvtx 26768  Edgcedg 26819  UPGraphcupgr 26852  USPGraphcuspgr 26920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-hash 13676  df-edg 26820  df-upgr 26854  df-uspgr 26922
This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  44140  isomuspgrlem2d  44141
  Copyright terms: Public domain W3C validator