Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2b 46797
Description: Lemma 2 for isomuspgrlem2 46801. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2b (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2b
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomuspgrlem2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
2 uspgrupgr 28701 . . . . . 6 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ UPGraph)
4 isomushgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐴)
64, 5upgredg 28662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ UPGraph ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
73, 6sylan 578 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
8 isomuspgrlem2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
9 preq12 4740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑})
109eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
13 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1512, 14preq12d 4746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
1615eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
1710, 16bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
1817rspc2gv 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
198, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2019adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2120imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
22 bicom 221 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) ↔ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
23 bianir 1055 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸)) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)
2423ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
2522, 24biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
26 isomuspgrlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
27 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑉)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → 𝐹 Fn 𝑉)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
31 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
32 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
3330, 31, 323jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
35 fnimapr 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3736eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
3837eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
3938biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4039ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4225, 41syld 47 . . . . . . . . . . 11 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4342com13 88 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4421, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
45 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝑥𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
46 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
4746eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4845, 47imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4948adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5144, 50mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5251exp31 418 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5352com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐸 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5453imp31 416 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐸) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5554rexlimdvva 3209 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
567, 55mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
5756ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
58 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
5958fmpt 7112 . 2 (∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾𝐺:𝐸𝐾)
6057, 59sylib 217 1 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  {cpr 4631  cmpt 5232  cima 5680   Fn wfn 6539  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  Vtxcvtx 28521  Edgcedg 28572  UPGraphcupgr 28605  USPGraphcuspgr 28673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-hash 14297  df-edg 28573  df-upgr 28607  df-uspgr 28675
This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  46798  isomuspgrlem2d  46799
  Copyright terms: Public domain W3C validator