Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2b 44815
Description: Lemma 2 for isomuspgrlem2 44819. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2b (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2b
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomuspgrlem2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
2 uspgrupgr 27121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ UPGraph)
4 isomushgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐴)
64, 5upgredg 27082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ UPGraph ∧ 𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
73, 6sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑})
8 isomuspgrlem2.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
9 preq12 4626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑑})
109eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
11 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑐 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
1211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑐))
13 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
1512, 14preq12d 4632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
1615eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → ({(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
1710, 16bibi12d 349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑑) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
1817rspc2gv 3535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
198, 18syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2019adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)))
2120imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
22 bicom 225 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) ↔ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
23 bianir 1058 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸)) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾)
2423ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
2522, 24syl5bi 245 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾))
26 isomuspgrlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
27 f1ofn 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹 Fn 𝑉)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → 𝐹 Fn 𝑉)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝐹 Fn 𝑉)
31 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑐𝑉)
32 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → 𝑑𝑉)
3330, 31, 323jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉))
35 fnimapr 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) = {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)})
3736eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
3837eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
3938biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉))) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4039ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → ({(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾 → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4225, 41syld 47 . . . . . . . . . . 11 ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4342com13 88 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑐), (𝐹𝑑)} ∈ 𝐾) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4421, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
45 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝑥𝐸 ↔ {𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸))
46 imaeq2 5899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}))
4746eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ↔ (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾))
4845, 47imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
4948adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5049adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 → (𝐹 “ {𝑐, 𝑑}) ∈ 𝐾)))
5144, 50mpbird 260 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = {𝑐, 𝑑}) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5251exp31 423 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥𝐸 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5352com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐸 → ((𝑐𝑉𝑑𝑉) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))))
5453imp31 421 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐸) ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → (𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
5554rexlimdvva 3204 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐸) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 𝑥 = {𝑐, 𝑑} → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
567, 55mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐸) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
5756ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
58 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
5958fmpt 6884 . 2 (∀𝑥𝐸 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾𝐺:𝐸𝐾)
6057, 59sylib 221 1 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  {cpr 4518  cmpt 5110  cima 5528   Fn wfn 6334  wf 6335  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  Vtxcvtx 26941  Edgcedg 26992  UPGraphcupgr 27025  USPGraphcuspgr 27093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783  df-edg 26993  df-upgr 27027  df-uspgr 27095
This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2c  44816  isomuspgrlem2d  44817
  Copyright terms: Public domain W3C validator