Theorem imaexg 7890

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6057	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5278	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ran crn 5646   “ cima 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658

This theorem is referenced by:  imaex  7891  imaexd  7893  ecexg  8677  fopwdom  9053  gsumvalx  18693  gsum2dlem1  19993  gsum2dlem2  19994  gsum2d  19995  xkococnlem  23699  qtopval  23735  ustuqtop4  24284  utopsnnei  24289  fmucnd  24331  metustel  24590  metustss  24591  metustfbas  24597  metuel2  24605  psmetutop  24607  restmetu  24610  cnheiborlem  24996  itg2gt0  25802  shsval  31461  nlfnval  32030  fnpreimac  32822  ffsrn  32880  pwrssmgc  33139  gsummpt2co  33189  gsummpt2d  33190  qusima  33555  elrspunidl  33575  ply1degltdimlem  33880  algextdeglem8  33982  locfinreflem  34098  zarcmplem  34139  rhmpreimacnlem  34142  qqhval  34230  esum2d  34351  mbfmcnt  34526  sitgaddlemb  34606  eulerpartgbij  34630  eulerpartlemgs2  34638  orvcval  34716  coinfliprv  34741  ballotlemrval  34776  ballotlem7  34794  msrval  35852  mthmval  35889  dfrdg2  36107  tailval  36697  bj-clexab  37413  bj-imdirco  37646  isbasisrelowl  37816  relowlpssretop  37822  lkrval  39676  hashscontpow  42703  imacrhmcl  43100  isnacs3  43255  pw2f1ocnv  43578  pw2f1o2val  43580  lmhmlnmsplit  43628  frege98  44501  frege110  44513  frege133  44536  binomcxplemnotnn0  44896  tgqioo2  46087  smfco  47340  preimafvelsetpreimafv  47958  fundcmpsurinjlem2  47969