Theorem imaexg 7911

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6075	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5291	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ran crn 5664   “ cima 5666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676

This theorem is referenced by:  imaex  7912  imaexd  7914  ecexg  8699  fopwdom  9074  gsumvalx  18735  gsum2dlem1  20041  gsum2dlem2  20042  gsum2d  20043  xkococnlem  23797  qtopval  23833  ustuqtop4  24382  utopsnnei  24387  fmucnd  24429  metustel  24688  metustss  24689  metustfbas  24695  metuel2  24703  psmetutop  24705  restmetu  24708  cnheiborlem  25094  itg2gt0  25900  shsval  31645  nlfnval  32214  fnpreimac  32996  ffsrn  33054  pwrssmgc  33301  gsummpt2co  33349  gsummpt2d  33350  qusima  33698  elrspunidl  33717  ply1degltdimlem  33993  algextdeglem8  34095  locfinreflem  34211  zarcmplem  34252  rhmpreimacnlem  34255  qqhval  34343  esum2d  34464  mbfmcnt  34639  sitgaddlemb  34719  eulerpartgbij  34743  eulerpartlemgs2  34751  orvcval  34829  coinfliprv  34854  ballotlemrval  34889  ballotlem7  34907  msrval  36011  mthmval  36048  dfrdg2  36266  tailval  36865  bj-clexab  37581  bj-imdirco  37815  isbasisrelowl  37985  relowlpssretop  37991  lkrval  39843  hashscontpow  42870  imacrhmcl  43269  isnacs3  43424  pw2f1ocnv  43747  pw2f1o2val  43749  lmhmlnmsplit  43797  frege98  44670  frege110  44682  frege133  44705  binomcxplemnotnn0  45049  tgqioo2  46246  smfco  47499  preimafvelsetpreimafv  48120  fundcmpsurinjlem2  48131