Theorem imaexg 7736

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5969	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7725	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5242	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ran crn 5581   “ cima 5583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593

This theorem is referenced by:  imaex  7737  ecexg  8460  fopwdom  8820  gsumvalx  18275  gsum2dlem1  19486  gsum2dlem2  19487  gsum2d  19488  xkococnlem  22718  qtopval  22754  ustuqtop4  23304  utopsnnei  23309  fmucnd  23352  metustel  23612  metustss  23613  metustfbas  23619  metuel2  23627  psmetutop  23629  restmetu  23632  cnheiborlem  24023  itg2gt0  24830  shsval  29575  nlfnval  30144  fnpreimac  30910  ffsrn  30966  pwrssmgc  31180  gsummpt2co  31210  gsummpt2d  31211  qusima  31496  elrspunidl  31508  locfinreflem  31692  zarcmplem  31733  rhmpreimacnlem  31736  qqhval  31824  esum2d  31961  mbfmcnt  32135  sitgaddlemb  32215  eulerpartgbij  32239  eulerpartlemgs2  32247  orvcval  32324  coinfliprv  32349  ballotlemrval  32384  ballotlem7  32402  msrval  33400  mthmval  33437  dfrdg2  33677  tailval  34489  bj-clex  35081  bj-imdirco  35288  isbasisrelowl  35456  relowlpssretop  35462  lkrval  37029  isnacs3  40448  pw2f1ocnv  40775  pw2f1o2val  40777  lmhmlnmsplit  40828  frege98  41458  frege110  41470  frege133  41493  binomcxplemnotnn0  41863  imaexi  42650  tgqioo2  42975  sge0f1o  43810  smfco  44223  preimafvelsetpreimafv  44728  fundcmpsurinjlem2  44739  isomuspgrlem2a  45168