Theorem imaexg 7898

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6063	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5283	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ran crn 5652   “ cima 5654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is referenced by:  imaex  7899  imaexd  7901  ecexg  8686  fopwdom  9061  gsumvalx  18722  gsum2dlem1  20028  gsum2dlem2  20029  gsum2d  20030  xkococnlem  23773  qtopval  23809  ustuqtop4  24358  utopsnnei  24363  fmucnd  24405  metustel  24664  metustss  24665  metustfbas  24671  metuel2  24679  psmetutop  24681  restmetu  24684  cnheiborlem  25070  itg2gt0  25876  shsval  31569  nlfnval  32138  fnpreimac  32923  ffsrn  32981  pwrssmgc  33228  gsummpt2co  33276  gsummpt2d  33277  qusima  33628  elrspunidl  33647  ply1degltdimlem  33924  algextdeglem8  34026  locfinreflem  34142  zarcmplem  34183  rhmpreimacnlem  34186  qqhval  34274  esum2d  34395  mbfmcnt  34570  sitgaddlemb  34650  eulerpartgbij  34674  eulerpartlemgs2  34682  orvcval  34760  coinfliprv  34785  ballotlemrval  34820  ballotlem7  34838  msrval  35896  mthmval  35933  dfrdg2  36151  tailval  36741  bj-clexab  37456  bj-imdirco  37689  isbasisrelowl  37859  relowlpssretop  37865  lkrval  39719  hashscontpow  42746  imacrhmcl  43143  isnacs3  43298  pw2f1ocnv  43621  pw2f1o2val  43623  lmhmlnmsplit  43671  frege98  44544  frege110  44556  frege133  44579  binomcxplemnotnn0  44925  tgqioo2  46122  smfco  47375  preimafvelsetpreimafv  47993  fundcmpsurinjlem2  48004