Theorem imaexg 7889

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6042	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5278	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ran crn 5639   “ cima 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651

This theorem is referenced by:  imaex  7890  imaexd  7892  ecexg  8675  fopwdom  9049  gsumvalx  18603  gsum2dlem1  19900  gsum2dlem2  19901  gsum2d  19902  xkococnlem  23546  qtopval  23582  ustuqtop4  24132  utopsnnei  24137  fmucnd  24179  metustel  24438  metustss  24439  metustfbas  24445  metuel2  24453  psmetutop  24455  restmetu  24458  cnheiborlem  24853  itg2gt0  25661  shsval  31241  nlfnval  31810  fnpreimac  32595  ffsrn  32652  pwrssmgc  32926  gsummpt2co  32988  gsummpt2d  32989  qusima  33379  elrspunidl  33399  ply1degltdimlem  33618  algextdeglem8  33714  locfinreflem  33830  zarcmplem  33871  rhmpreimacnlem  33874  qqhval  33962  esum2d  34083  mbfmcnt  34259  sitgaddlemb  34339  eulerpartgbij  34363  eulerpartlemgs2  34371  orvcval  34449  coinfliprv  34474  ballotlemrval  34509  ballotlem7  34527  msrval  35525  mthmval  35562  dfrdg2  35783  tailval  36361  bj-clexab  36952  bj-imdirco  37178  isbasisrelowl  37346  relowlpssretop  37352  lkrval  39081  hashscontpow  42110  imacrhmcl  42502  isnacs3  42698  pw2f1ocnv  43026  pw2f1o2val  43028  lmhmlnmsplit  43076  frege98  43950  frege110  43962  frege133  43985  binomcxplemnotnn0  44345  tgqioo2  45545  smfco  46800  preimafvelsetpreimafv  47389  fundcmpsurinjlem2  47400