Theorem imaexg 7952

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6211	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5286	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ran crn 5657   “ cima 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669

This theorem is used by:  imaex  7953  imaexd  7955  ecexg  8752  fopwdom  9135  gsumvalx  18897  gsum2dlem1  20217  gsum2dlem2  20218  gsum2d  20219  xkococnlem  24011  qtopval  24047  ustuqtop4  24596  utopsnnei  24601  fmucnd  24643  metustel  24902  metustss  24903  metustfbas  24909  metuel2  24917  psmetutop  24919  restmetu  24922  cnheiborlem  25308  itg2gt0  26114  shsval  31947  nlfnval  32516  fnpreimac  33339  pwrssmgc  33637  gsummpt2co  33685  gsummpt2d  33686  qusima  34043  ply1degltdimlem  34337  algextdeglem8  34439  locfinreflem  34555  zarcmplem  34596  rhmpreimacnlem  34599  qqhval  34687  esum2d  34808  mbfmcnt  34983  sitgaddlemb  35063  eulerpartgbij  35087  eulerpartlemgs2  35095  orvcval  35173  coinfliprv  35198  ballotlemrval  35233  ballotlem7  35251  msrval  36483  mthmval  36520  dfrdg2  36748  tailval  37352  bj-clexab  38068  bj-imdirco  38316  isbasisrelowl  38486  relowlpssretop  38492  lkrval  40348  hashscontpow  43375  imacrhmcl  43785  isnacs3  43925  pw2f1ocnv  44248  pw2f1o2val  44250  lmhmlnmsplit  44293  frege98  45164  frege110  45176  frege133  45199  binomcxplemnotnn0  45543  tgqioo2  46774  smfco  48027  preimafvelsetpreimafv  48685  fundcmpsurinjlem2  48696