Theorem imaexg 7843

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6020	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5261	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ran crn 5617   “ cima 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629

This theorem is referenced by:  imaex  7844  imaexd  7846  ecexg  8626  fopwdom  8998  gsumvalx  18584  gsum2dlem1  19883  gsum2dlem2  19884  gsum2d  19885  xkococnlem  23575  qtopval  23611  ustuqtop4  24160  utopsnnei  24165  fmucnd  24207  metustel  24466  metustss  24467  metustfbas  24473  metuel2  24481  psmetutop  24483  restmetu  24486  cnheiborlem  24881  itg2gt0  25689  shsval  31290  nlfnval  31859  fnpreimac  32651  ffsrn  32709  pwrssmgc  32979  gsummpt2co  33026  gsummpt2d  33027  qusima  33371  elrspunidl  33391  ply1degltdimlem  33633  algextdeglem8  33735  locfinreflem  33851  zarcmplem  33892  rhmpreimacnlem  33895  qqhval  33983  esum2d  34104  mbfmcnt  34279  sitgaddlemb  34359  eulerpartgbij  34383  eulerpartlemgs2  34391  orvcval  34469  coinfliprv  34494  ballotlemrval  34529  ballotlem7  34547  msrval  35580  mthmval  35617  dfrdg2  35835  tailval  36413  bj-clexab  37004  bj-imdirco  37230  isbasisrelowl  37398  relowlpssretop  37404  lkrval  39133  hashscontpow  42161  imacrhmcl  42553  isnacs3  42749  pw2f1ocnv  43076  pw2f1o2val  43078  lmhmlnmsplit  43126  frege98  44000  frege110  44012  frege133  44035  binomcxplemnotnn0  44395  tgqioo2  45593  smfco  46846  preimafvelsetpreimafv  47425  fundcmpsurinjlem2  47436