Theorem imaexg 7762

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5980	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7751	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5247	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ran crn 5590   “ cima 5592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602

This theorem is referenced by:  imaex  7763  ecexg  8502  fopwdom  8867  gsumvalx  18360  gsum2dlem1  19571  gsum2dlem2  19572  gsum2d  19573  xkococnlem  22810  qtopval  22846  ustuqtop4  23396  utopsnnei  23401  fmucnd  23444  metustel  23706  metustss  23707  metustfbas  23713  metuel2  23721  psmetutop  23723  restmetu  23726  cnheiborlem  24117  itg2gt0  24925  shsval  29674  nlfnval  30243  fnpreimac  31008  ffsrn  31064  pwrssmgc  31278  gsummpt2co  31308  gsummpt2d  31309  qusima  31594  elrspunidl  31606  locfinreflem  31790  zarcmplem  31831  rhmpreimacnlem  31834  qqhval  31924  esum2d  32061  mbfmcnt  32235  sitgaddlemb  32315  eulerpartgbij  32339  eulerpartlemgs2  32347  orvcval  32424  coinfliprv  32449  ballotlemrval  32484  ballotlem7  32502  msrval  33500  mthmval  33537  dfrdg2  33771  tailval  34562  bj-clex  35154  bj-imdirco  35361  isbasisrelowl  35529  relowlpssretop  35535  lkrval  37102  isnacs3  40532  pw2f1ocnv  40859  pw2f1o2val  40861  lmhmlnmsplit  40912  frege98  41569  frege110  41581  frege133  41604  binomcxplemnotnn0  41974  imaexi  42761  tgqioo2  43085  sge0f1o  43920  smfco  44336  preimafvelsetpreimafv  44840  fundcmpsurinjlem2  44851  isomuspgrlem2a  45280