Theorem imaexg 7906

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6071	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7895	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5324	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ran crn 5678   “ cima 5680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690

This theorem is referenced by:  imaex  7907  ecexg  8707  fopwdom  9080  gsumvalx  18595  gsum2dlem1  19838  gsum2dlem2  19839  gsum2d  19840  xkococnlem  23163  qtopval  23199  ustuqtop4  23749  utopsnnei  23754  fmucnd  23797  metustel  24059  metustss  24060  metustfbas  24066  metuel2  24074  psmetutop  24076  restmetu  24079  cnheiborlem  24470  itg2gt0  25278  shsval  30565  nlfnval  31134  fnpreimac  31896  imaexd  31904  ffsrn  31954  pwrssmgc  32170  gsummpt2co  32200  gsummpt2d  32201  qusima  32519  elrspunidl  32546  ply1degltdimlem  32707  locfinreflem  32820  zarcmplem  32861  rhmpreimacnlem  32864  qqhval  32954  esum2d  33091  mbfmcnt  33267  sitgaddlemb  33347  eulerpartgbij  33371  eulerpartlemgs2  33379  orvcval  33456  coinfliprv  33481  ballotlemrval  33516  ballotlem7  33534  msrval  34529  mthmval  34566  dfrdg2  34767  tailval  35258  bj-clexab  35845  bj-imdirco  36071  isbasisrelowl  36239  relowlpssretop  36245  lkrval  37958  imacrhmcl  41089  isnacs3  41448  pw2f1ocnv  41776  pw2f1o2val  41778  lmhmlnmsplit  41829  frege98  42712  frege110  42724  frege133  42747  binomcxplemnotnn0  43115  imaexi  43920  tgqioo2  44260  sge0f1o  45098  smfco  45518  preimafvelsetpreimafv  46056  fundcmpsurinjlem2  46067  isomuspgrlem2a  46496