Theorem imaexg 7853

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6026	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7842	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5265	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ran crn 5624   “ cima 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636

This theorem is referenced by:  imaex  7854  imaexd  7856  ecexg  8636  fopwdom  9009  gsumvalx  18568  gsum2dlem1  19867  gsum2dlem2  19868  gsum2d  19869  xkococnlem  23562  qtopval  23598  ustuqtop4  24148  utopsnnei  24153  fmucnd  24195  metustel  24454  metustss  24455  metustfbas  24461  metuel2  24469  psmetutop  24471  restmetu  24474  cnheiborlem  24869  itg2gt0  25677  shsval  31274  nlfnval  31843  fnpreimac  32628  ffsrn  32685  pwrssmgc  32955  gsummpt2co  33014  gsummpt2d  33015  qusima  33355  elrspunidl  33375  ply1degltdimlem  33594  algextdeglem8  33690  locfinreflem  33806  zarcmplem  33847  rhmpreimacnlem  33850  qqhval  33938  esum2d  34059  mbfmcnt  34235  sitgaddlemb  34315  eulerpartgbij  34339  eulerpartlemgs2  34347  orvcval  34425  coinfliprv  34450  ballotlemrval  34485  ballotlem7  34503  msrval  35510  mthmval  35547  dfrdg2  35768  tailval  36346  bj-clexab  36937  bj-imdirco  37163  isbasisrelowl  37331  relowlpssretop  37337  lkrval  39066  hashscontpow  42095  imacrhmcl  42487  isnacs3  42683  pw2f1ocnv  43010  pw2f1o2val  43012  lmhmlnmsplit  43060  frege98  43934  frege110  43946  frege133  43969  binomcxplemnotnn0  44329  tgqioo2  45529  smfco  46784  preimafvelsetpreimafv  47373  fundcmpsurinjlem2  47384