Theorem imaexg 7914

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6065	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7903	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5281	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ran crn 5652   “ cima 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is used by:  imaex  7915  imaexd  7917  ecexg  8705  fopwdom  9088  gsumvalx  18845  gsum2dlem1  20164  gsum2dlem2  20165  gsum2d  20166  xkococnlem  23958  qtopval  23994  ustuqtop4  24543  utopsnnei  24548  fmucnd  24590  metustel  24849  metustss  24850  metustfbas  24856  metuel2  24864  psmetutop  24866  restmetu  24869  cnheiborlem  25255  itg2gt0  26061  shsval  31896  nlfnval  32465  fnpreimac  33246  pwrssmgc  33543  gsummpt2co  33591  gsummpt2d  33592  qusima  33941  elrspunidl  33960  ply1degltdimlem  34236  algextdeglem8  34338  locfinreflem  34454  zarcmplem  34495  rhmpreimacnlem  34498  qqhval  34586  esum2d  34707  mbfmcnt  34883  sitgaddlemb  34963  eulerpartgbij  34987  eulerpartlemgs2  34995  orvcval  35073  coinfliprv  35098  ballotlemrval  35133  ballotlem7  35151  msrval  36272  mthmval  36309  dfrdg2  36527  tailval  37131  bj-clexab  37847  bj-imdirco  38079  isbasisrelowl  38249  relowlpssretop  38255  lkrval  40113  hashscontpow  43140  imacrhmcl  43546  isnacs3  43674  pw2f1ocnv  43997  pw2f1o2val  43999  lmhmlnmsplit  44047  frege98  44920  frege110  44932  frege133  44955  binomcxplemnotnn0  45299  tgqioo2  46503  smfco  47756  preimafvelsetpreimafv  48414  fundcmpsurinjlem2  48425