Theorem imaexg 7953

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6100	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5341	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ran crn 5701   “ cima 5703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713

This theorem is referenced by:  imaex  7954  imaexd  7956  ecexg  8767  fopwdom  9146  gsumvalx  18714  gsum2dlem1  20012  gsum2dlem2  20013  gsum2d  20014  xkococnlem  23688  qtopval  23724  ustuqtop4  24274  utopsnnei  24279  fmucnd  24322  metustel  24584  metustss  24585  metustfbas  24591  metuel2  24599  psmetutop  24601  restmetu  24604  cnheiborlem  25005  itg2gt0  25815  shsval  31344  nlfnval  31913  fnpreimac  32689  ffsrn  32743  pwrssmgc  32973  gsummpt2co  33031  gsummpt2d  33032  qusima  33401  elrspunidl  33421  ply1degltdimlem  33635  algextdeglem8  33715  locfinreflem  33786  zarcmplem  33827  rhmpreimacnlem  33830  qqhval  33920  esum2d  34057  mbfmcnt  34233  sitgaddlemb  34313  eulerpartgbij  34337  eulerpartlemgs2  34345  orvcval  34422  coinfliprv  34447  ballotlemrval  34482  ballotlem7  34500  msrval  35506  mthmval  35543  dfrdg2  35759  tailval  36339  bj-clexab  36930  bj-imdirco  37156  isbasisrelowl  37324  relowlpssretop  37330  lkrval  39044  hashscontpow  42079  imacrhmcl  42469  isnacs3  42666  pw2f1ocnv  42994  pw2f1o2val  42996  lmhmlnmsplit  43044  frege98  43923  frege110  43935  frege133  43958  binomcxplemnotnn0  44325  tgqioo2  45465  sge0f1o  46303  smfco  46723  preimafvelsetpreimafv  47262  fundcmpsurinjlem2  47273