Theorem imaexg 7602

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5907	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 7595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 5191	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ran crn 5520   “ cima 5522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532

This theorem is referenced by:  imaex  7603  ecexg  8276  fopwdom  8608  gsumvalx  17878  gsum2dlem1  19083  gsum2dlem2  19084  gsum2d  19085  xkococnlem  22264  qtopval  22300  ustuqtop4  22850  utopsnnei  22855  fmucnd  22898  metustel  23157  metustss  23158  metustfbas  23164  metuel2  23172  psmetutop  23174  restmetu  23177  cnheiborlem  23559  itg2gt0  24364  shsval  29095  nlfnval  29664  fnpreimac  30434  ffsrn  30491  pwrssmgc  30706  gsummpt2co  30733  gsummpt2d  30734  elrspunidl  31014  locfinreflem  31193  zarcmplem  31234  rhmpreimacnlem  31237  qqhval  31325  esum2d  31462  mbfmcnt  31636  sitgaddlemb  31716  eulerpartgbij  31740  eulerpartlemgs2  31748  orvcval  31825  coinfliprv  31850  ballotlemrval  31885  ballotlem7  31903  msrval  32898  mthmval  32935  dfrdg2  33153  tailval  33834  bj-clex  34400  bj-imdirco  34605  isbasisrelowl  34775  relowlpssretop  34781  lkrval  36384  isnacs3  39651  pw2f1ocnv  39978  pw2f1o2val  39980  lmhmlnmsplit  40031  frege98  40662  frege110  40674  frege133  40697  binomcxplemnotnn0  41060  imaexi  41852  tgqioo2  42184  sge0f1o  43021  smfco  43434  preimafvelsetpreimafv  43905  fundcmpsurinjlem2  43916  isomuspgrlem2a  44346