Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2c 44190
 Description: Lemma 3 for isomuspgrlem2 44193. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x (𝜑𝐹𝑋)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2c (𝜑𝐺:𝐸1-1𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2c
Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomushgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2 isomushgr.w . . 3 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3 isomushgr.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4 isomushgr.k . . 3 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
6 isomuspgrlem2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
7 isomuspgrlem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
8 isomuspgrlem2.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8isomuspgrlem2b 44189 . 2 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
10 isomuspgrlem2.x . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑋)
111, 2, 3, 4, 5isomuspgrlem2a 44188 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
13 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑐 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑐))
14 fveq2 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑐 → (𝐺𝑒) = (𝐺𝑐))
1513, 14eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → ((𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1615rspcv 3603 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐸 → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1716ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1817imp 410 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐))
1918eqcomd 2830 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐺𝑐) = (𝐹𝑐))
20 imaeq2 5906 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))
21 fveq2 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 → (𝐺𝑒) = (𝐺𝑑))
2220, 21eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑑 → ((𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2322rspcv 3603 . . . . . . . . 9 (𝑑𝐸 → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2423ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2524imp 410 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑))
2625eqcomd 2830 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐺𝑑) = (𝐹𝑑))
2719, 26eqeq12d 2840 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑)))
2812, 27mpidan 688 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑)))
29 f1of1 6595 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹:𝑉1-1𝑊)
307, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝑊)
31 uspgrupgr 26958 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
32 upgruhgr 26884 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ UPGraph → 𝐴 ∈ UHGraph)
333eleq2i 2907 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Edg‘𝐴))
34 edguhgr 26911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
35 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ (Vtx‘𝐴))
3635, 1sseqtrrdi 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐𝑉)
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐𝑉)
3837ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑐𝑉))
3933, 38syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐𝐸𝑐𝑉))
403eleq2i 2907 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Edg‘𝐴))
41 edguhgr 26911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
42 elpwi 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ (Vtx‘𝐴))
4342, 1sseqtrrdi 4002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑𝑉)
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑𝑉)
4544ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑑𝑉))
4640, 45syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑𝐸𝑑𝑉))
4739, 46anim12d 611 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ UHGraph → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
4832, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ UPGraph → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
496, 31, 483syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
5049imp 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (𝑐𝑉𝑑𝑉))
51 f1imaeq 7005 . . . . . 6 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5230, 50, 51syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5352biimpd 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5428, 53sylbid 243 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5554ralrimivva 3185 . 2 (𝜑 → ∀𝑐𝐸𝑑𝐸 ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
56 dff13 6995 . 2 (𝐺:𝐸1-1𝐾 ↔ (𝐺:𝐸𝐾 ∧ ∀𝑐𝐸𝑑𝐸 ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
579, 55, 56sylanbrc 586 1 (𝜑𝐺:𝐸1-1𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   ⊆ wss 3918  𝒫 cpw 4520  {cpr 4550   ↦ cmpt 5127   “ cima 5539  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  Vtxcvtx 26778  Edgcedg 26829  UHGraphcuhgr 26838  UPGraphcupgr 26862  USPGraphcuspgr 26930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-hash 13685  df-edg 26830  df-uhgr 26840  df-upgr 26864  df-uspgr 26932 This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2e  44192
 Copyright terms: Public domain W3C validator