Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2c 46798
Description: Lemma 3 for isomuspgrlem2 46801. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
isomuspgrlem2.a (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
isomuspgrlem2.i (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x (𝜑𝐹𝑋)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2c (𝜑𝐺:𝐸1-1𝐾)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2c
Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomushgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2 isomushgr.w . . 3 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3 isomushgr.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4 isomushgr.k . . 3 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5 isomuspgrlem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐸 ↦ (𝐹𝑥))
6 isomuspgrlem2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ USPGraph)
7 isomuspgrlem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝑊)
8 isomuspgrlem2.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏)} ∈ 𝐾))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8isomuspgrlem2b 46797 . 2 (𝜑𝐺:𝐸𝐾)
10 isomuspgrlem2.x . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑋)
111, 2, 3, 4, 5isomuspgrlem2a 46796 . . . . . 6 (𝐹𝑋 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒))
13 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑐 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑐))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑐 → (𝐺𝑒) = (𝐺𝑐))
1513, 14eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑐 → ((𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1615rspcv 3609 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐸 → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1716ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐)))
1817imp 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐹𝑐) = (𝐺𝑐))
1918eqcomd 2737 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐺𝑐) = (𝐹𝑐))
20 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑑))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑑 → (𝐺𝑒) = (𝐺𝑑))
2220, 21eqeq12d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑑 → ((𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) ↔ (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2322rspcv 3609 . . . . . . . . 9 (𝑑𝐸 → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2423ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑)))
2524imp 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐹𝑑) = (𝐺𝑑))
2625eqcomd 2737 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → (𝐺𝑑) = (𝐹𝑑))
2719, 26eqeq12d 2747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝐹𝑒) = (𝐺𝑒)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑)))
2812, 27mpidan 686 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) ↔ (𝐹𝑐) = (𝐹𝑑)))
29 f1of1 6833 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹:𝑉1-1𝑊)
307, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝑊)
31 uspgrupgr 28700 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
32 upgruhgr 28626 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ UPGraph → 𝐴 ∈ UHGraph)
333eleq2i 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Edg‘𝐴))
34 edguhgr 28653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
35 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ (Vtx‘𝐴))
3635, 1sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐𝑉)
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐𝑉)
3837ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑐𝑉))
3933, 38biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐𝐸𝑐𝑉))
403eleq2i 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Edg‘𝐴))
41 edguhgr 28653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
42 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ (Vtx‘𝐴))
4342, 1sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑𝑉)
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑𝑉)
4544ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑑𝑉))
4640, 45biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑𝐸𝑑𝑉))
4739, 46anim12d 608 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ UHGraph → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
4832, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ UPGraph → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
496, 31, 483syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐𝑉𝑑𝑉)))
5049imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → (𝑐𝑉𝑑𝑉))
51 f1imaeq 7267 . . . . . 6 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ (𝑐𝑉𝑑𝑉)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5230, 50, 51syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5352biimpd 228 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐹𝑐) = (𝐹𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5428, 53sylbid 239 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5554ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑐𝐸𝑑𝐸 ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
56 dff13 7257 . 2 (𝐺:𝐸1-1𝐾 ↔ (𝐺:𝐸𝐾 ∧ ∀𝑐𝐸𝑑𝐸 ((𝐺𝑐) = (𝐺𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
579, 55, 56sylanbrc 582 1 (𝜑𝐺:𝐸1-1𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wss 3949  𝒫 cpw 4603  {cpr 4631  cmpt 5232  cima 5680  wf 6540  1-1wf1 6541  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  Vtxcvtx 28520  Edgcedg 28571  UHGraphcuhgr 28580  UPGraphcupgr 28604  USPGraphcuspgr 28672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-uspgr 28674
This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2e  46800
  Copyright terms: Public domain W3C validator