Theorem isomuspgrlem2c 45170

Description: Lemma 3 for isomuspgrlem2 45173. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
isomuspgrlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
isomuspgrlem2.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2c	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1→𝐾)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2c

Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomushgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2		isomushgr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3		isomushgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4		isomushgr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5		isomuspgrlem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
6		isomuspgrlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
7		isomuspgrlem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
8		isomuspgrlem2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	isomuspgrlem2b 45169	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸⟶𝐾)
10		isomuspgrlem2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
11	1, 2, 3, 4, 5	isomuspgrlem2a 45168	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
13		imaeq2 5954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐹 “ 𝑐))
14		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝐺‘𝑒) = (𝐺‘𝑐))
15	13, 14	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ((𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
16	15	rspcv 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐸 → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
17	16	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
18	17	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐))
19	18	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐺‘𝑐) = (𝐹 “ 𝑐))
20		imaeq2 5954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐹 “ 𝑑))
21		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → (𝐺‘𝑒) = (𝐺‘𝑑))
22	20, 21	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → ((𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) ↔ (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
23	22	rspcv 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐸 → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
24	23	ad2antll 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑))
26	25	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐺‘𝑑) = (𝐹 “ 𝑑))
27	19, 26	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑)))
28	12, 27	mpidan 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑)))
29		f1of1 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
30	7, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
31		uspgrupgr 27449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
32		upgruhgr 27375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ UPGraph → 𝐴 ∈ UHGraph)
33	3	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴))
34		edguhgr 27402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
35		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ (Vtx‘𝐴))
36	35, 1	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ 𝑉)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ⊆ 𝑉)
38	37	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑐 ⊆ 𝑉))
39	33, 38	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ⊆ 𝑉))
40	3	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴))
41		edguhgr 27402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
42		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ (Vtx‘𝐴))
43	42, 1	sseqtrrdi 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ 𝑉)
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ⊆ 𝑉)
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑑 ⊆ 𝑉))
46	40, 45	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ 𝐸 → 𝑑 ⊆ 𝑉))
47	39, 46	anim12d 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
48	32, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ UPGraph → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
49	6, 31, 48	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
50	49	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉))
51		f1imaeq 7119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
52	30, 50, 51	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
53	52	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
54	28, 53	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
55	54	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐸 ∀𝑑 ∈ 𝐸 ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
56		dff13 7109	. 2 ⊢ (𝐺:𝐸–1-1→𝐾 ↔ (𝐺:𝐸⟶𝐾 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 ∀𝑑 ∈ 𝐸 ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
57	9, 55, 56	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1→𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153   “ cima 5583  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  UHGraphcuhgr 27329  UPGraphcupgr 27353  USPGraphcuspgr 27421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-uspgr 27423

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2e  45172