Theorem isomuspgrlem2c 42736

Description: Lemma 3 for isomuspgrlem2 42739. (Contributed by AV, 29-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
isomuspgrlem2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
isomuspgrlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
isomuspgrlem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
isomuspgrlem2.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
isomuspgrlem2.x	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2c	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1→𝐾)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2c

Dummy variables 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomushgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
2		isomushgr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
3		isomushgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
4		isomushgr.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
5		isomuspgrlem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝐹 “ 𝑥))
6		isomuspgrlem2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ USPGraph)
7		isomuspgrlem2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊)
8		isomuspgrlem2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ 𝐾))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	isomuspgrlem2b 42735	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸⟶𝐾)
10		isomuspgrlem2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋)
11	1, 2, 3, 4, 5	isomuspgrlem2a 42734	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒))
13		imaeq2 5716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐹 “ 𝑐))
14		fveq2 6446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝐺‘𝑒) = (𝐺‘𝑐))
15	13, 14	eqeq12d 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → ((𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
16	15	rspcv 3506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐸 → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
17	16	ad2antrl 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐)))
18	17	imp 397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐹 “ 𝑐) = (𝐺‘𝑐))
19	18	eqcomd 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐺‘𝑐) = (𝐹 “ 𝑐))
20		imaeq2 5716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐹 “ 𝑑))
21		fveq2 6446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → (𝐺‘𝑒) = (𝐺‘𝑑))
22	20, 21	eqeq12d 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑑 → ((𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) ↔ (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
23	22	rspcv 3506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐸 → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
24	23	ad2antll 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑)))
25	24	imp 397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐹 “ 𝑑) = (𝐺‘𝑑))
26	25	eqcomd 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → (𝐺‘𝑑) = (𝐹 “ 𝑑))
27	19, 26	eqeq12d 2792	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐺‘𝑒)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑)))
28	12, 27	mpidan 679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) ↔ (𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑)))
29		f1of1 6390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
30	7, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
31		uspgrupgr 26525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ UPGraph)
32		upgruhgr 26450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ UPGraph → 𝐴 ∈ UHGraph)
33	3	eleq2i 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴))
34		edguhgr 26477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
35		elpwi 4388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ (Vtx‘𝐴))
36	35, 1	syl6sseqr 3870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑐 ⊆ 𝑉)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑐 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑐 ⊆ 𝑉)
38	37	ex 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑐 ⊆ 𝑉))
39	33, 38	syl5bi 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ⊆ 𝑉))
40	3	eleq2i 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴))
41		edguhgr 26477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴))
42		elpwi 4388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ (Vtx‘𝐴))
43	42, 1	syl6sseqr 3870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐴) → 𝑑 ⊆ 𝑉)
44	41, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ UHGraph ∧ 𝑑 ∈ (Edg‘𝐴)) → 𝑑 ⊆ 𝑉)
45	44	ex 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ (Edg‘𝐴) → 𝑑 ⊆ 𝑉))
46	40, 45	syl5bi 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → (𝑑 ∈ 𝐸 → 𝑑 ⊆ 𝑉))
47	39, 46	anim12d 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ UHGraph → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
48	32, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ UPGraph → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
49	6, 31, 48	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)))
50	49	imp 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉))
51		f1imaeq 6794	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ (𝑐 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑑 ⊆ 𝑉)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
52	30, 50, 51	syl2an2r 675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
53	52	biimpd 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐹 “ 𝑐) = (𝐹 “ 𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
54	28, 53	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
55	54	ralrimivva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐸 ∀𝑑 ∈ 𝐸 ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
56		dff13 6784	. 2 ⊢ (𝐺:𝐸–1-1→𝐾 ↔ (𝐺:𝐸⟶𝐾 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 ∀𝑑 ∈ 𝐸 ((𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑)))
57	9, 55, 56	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐸–1-1→𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   ⊆ wss 3791  𝒫 cpw 4378  {cpr 4399   ↦ cmpt 4965   “ cima 5358  ⟶wf 6131  –1-1→wf1 6132  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  Vtxcvtx 26344  Edgcedg 26395  UHGraphcuhgr 26404  UPGraphcupgr 26428  USPGraphcuspgr 26497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-edg 26396  df-uhgr 26406  df-upgr 26430  df-uspgr 26499

This theorem is referenced by:  isomuspgrlem2e  42738