Theorem isomuspgrlem2 45285

Description: Lemma 2 for isomuspgr 45286. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2	⊢ (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔   𝐵,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑔   𝑔,𝐾   𝑒,𝑉,𝑔   𝑒,𝑊,𝑔   𝑎,𝑏,𝑔,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomushgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
2	1	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
3	2	mptex 7099	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) ∈ V
4		isomushgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5		isomushgr.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
6		isomushgr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))
8		simplll 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ USPGraph)
9		simplr 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))
11		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓 ∈ V)
13		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ USPGraph)
14	4, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	isomuspgrlem2e 45284	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾)
15	4, 5, 1, 6, 7	isomuspgrlem2a 45280	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
16	11, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
17	14, 16	jca 512	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
18		f1oeq1 6704	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾))
19		fveq1 6773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (𝑔‘𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
20	19	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → ((𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒) ↔ (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
21	20	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
22	18, 21	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → ((𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))))
23	22	spcegv 3536	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))
24	3, 17, 23	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒)))
25	24	ex 413	1 ⊢ (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157   “ cima 5592  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  USPGraphcuspgr 27518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-uspgr 27520

This theorem is referenced by:  isomuspgr  45286