Theorem isomuspgrlem2 45644

Description: Lemma 2 for isomuspgr 45645. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isomuspgrlem2	⊢ (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔   𝐵,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑔   𝑔,𝐾   𝑒,𝑉,𝑔   𝑒,𝑊,𝑔   𝑎,𝑏,𝑔,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomushgr.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
2	1	fvexi 6839	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
3	2	mptex 7155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) ∈ V
4		isomushgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5		isomushgr.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
6		isomushgr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))
8		simplll 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ USPGraph)
9		simplr 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))
11		vex 3445	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓 ∈ V)
13		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ USPGraph)
14	4, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	isomuspgrlem2e 45643	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾)
15	4, 5, 1, 6, 7	isomuspgrlem2a 45639	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ V → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
16	11, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
17	14, 16	jca 512	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
18		f1oeq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ↔ (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾))
19		fveq1 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (𝑔‘𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))
20	19	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → ((𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒) ↔ (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
21	20	ralbidv 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → (∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)))
22	18, 21	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) → ((𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒))))
23	22	spcegv 3545	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)) ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥)):𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = ((𝑥 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 “ 𝑥))‘𝑒)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))
24	3, 17, 23	mpsyl 68	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒)))
25	24	ex 413	1 ⊢ (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸–1-1-onto→𝐾 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐸 (𝑓 “ 𝑒) = (𝑔‘𝑒))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  Vcvv 3441  {cpr 4575   ↦ cmpt 5175   “ cima 5623  –1-1-onto→wf1o 6478  ‘cfv 6479  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  USPGraphcuspgr 27807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-hash 14146  df-edg 27707  df-uhgr 27717  df-upgr 27741  df-uspgr 27809

This theorem is referenced by:  isomuspgr  45645