Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2 46111
Description: Lemma 2 for isomuspgr 46112. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔   𝐵,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑔   𝑔,𝐾   𝑒,𝑉,𝑔   𝑒,𝑊,𝑔   𝑎,𝑏,𝑔,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomushgr.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐴)
21fvexi 6857 . . . 4 𝐸 ∈ V
32mptex 7174 . . 3 (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V
4 isomushgr.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.w . . . . 5 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
6 isomushgr.k . . . . 5 𝐾 = (Edg‘𝐵)
7 eqid 2733 . . . . 5 (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))
8 simplll 774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ USPGraph)
9 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊)
10 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
11 vex 3448 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
1211a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓 ∈ V)
13 simpllr 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ USPGraph)
144, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13isomuspgrlem2e 46110 . . . 4 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾)
154, 5, 1, 6, 7isomuspgrlem2a 46106 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
1611, 15mp1i 13 . . . 4 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
1714, 16jca 513 . . 3 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
18 f1oeq1 6773 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ↔ (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾))
19 fveq1 6842 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑔𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
2019eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
2120ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
2218, 21anbi12d 632 . . . 4 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))))
2322spcegv 3555 . . 3 ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V → (((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
243, 17, 23mpsyl 68 . 2 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))
2524ex 414 1 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444  {cpr 4589  cmpt 5189  cima 5637  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  USPGraphcuspgr 28141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-uspgr 28143
This theorem is referenced by:  isomuspgr  46112
  Copyright terms: Public domain W3C validator