Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgrlem2 44294
 Description: Lemma 2 for isomuspgr 44295. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgrlem2 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔   𝐵,𝑒,𝑓,𝑔   𝑒,𝐸,𝑔   𝑔,𝐾   𝑒,𝑉,𝑔   𝑒,𝑊,𝑔   𝑎,𝑏,𝑔,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem isomuspgrlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isomushgr.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐴)
21fvexi 6666 . . . 4 𝐸 ∈ V
32mptex 6968 . . 3 (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V
4 isomushgr.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
5 isomushgr.w . . . . 5 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
6 isomushgr.k . . . . 5 𝐾 = (Edg‘𝐵)
7 eqid 2822 . . . . 5 (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))
8 simplll 774 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ USPGraph)
9 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊)
10 simpr 488 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
11 vex 3472 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
1211a1i 11 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝑓 ∈ V)
13 simpllr 775 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ USPGraph)
144, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13isomuspgrlem2e 44293 . . . 4 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾)
154, 5, 1, 6, 7isomuspgrlem2a 44289 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
1611, 15mp1i 13 . . . 4 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
1714, 16jca 515 . . 3 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
18 f1oeq1 6586 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ↔ (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾))
19 fveq1 6651 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (𝑔𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))
2019eqeq2d 2833 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
2120ralbidv 3187 . . . . 5 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)))
2218, 21anbi12d 633 . . . 4 (𝑔 = (𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒))))
2322spcegv 3572 . . 3 ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V → (((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥)):𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = ((𝑥𝐸 ↦ (𝑓𝑥))‘𝑒)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
243, 17, 23mpsyl 68 . 2 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))
2524ex 416 1 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  Vcvv 3469  {cpr 4541   ↦ cmpt 5122   “ cima 5535  –1-1-onto→wf1o 6333  ‘cfv 6334  Vtxcvtx 26787  Edgcedg 26838  USPGraphcuspgr 26939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-edg 26839  df-uhgr 26849  df-upgr 26873  df-uspgr 26941 This theorem is referenced by:  isomuspgr  44295
 Copyright terms: Public domain W3C validator