Theorem ist0-3 23260

Description: The predicate "is a T₀ space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-3	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0-2 23259	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2		con34b 316	. . . 4 ⊢ ((∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
3		df-ne 2929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4		xor 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (𝑦 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜)))
5		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜))
6	5	orbi2i 912	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (𝑦 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑜)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)))
7	4, 6	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)))
8	7	rexbii 3079	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑜 ∈ 𝐽 ¬ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)))
9		rexnal 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑜 ∈ 𝐽 ¬ (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜))
10	8, 9	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜))
11	3, 10	imbi12i 350	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜)))
12	2, 11	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜))))
13	12	2ralbii 3107	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜))))
14	1, 13	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑜 ∈ 𝐽 ((𝑥 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑜) ∨ (¬ 𝑥 ∈ 𝑜 ∧ 𝑦 ∈ 𝑜)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  TopOnctopon 22825  Kol2ct0 23221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topon 22826  df-t0 23228

This theorem is referenced by: (None)