MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-3 23353
Description: The predicate "is a T0 space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 23352 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 316 . . . 4 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
3 df-ne 2941 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4 xor 1017 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)))
5 ancom 460 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))
65orbi2i 913 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
74, 6bitri 275 . . . . . . 7 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
87rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
9 rexnal 3100 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
108, 9bitr3i 277 . . . . 5 (∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
113, 10imbi12i 350 . . . 4 ((𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
122, 11bitr4i 278 . . 3 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
13122ralbii 3128 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
141, 13bitrdi 287 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cfv 6561  TopOnctopon 22916  Kol2ct0 23314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topon 22917  df-t0 23321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator