MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ist0-3 22841
Description: The predicate "is a T0 space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,π‘œ,𝐽   π‘œ,𝑋,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 22840 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
2 con34b 316 . . . 4 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
3 df-ne 2942 . . . . 5 (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ Β¬ π‘₯ = 𝑦)
4 xor 1014 . . . . . . . 8 (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (𝑦 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ)))
5 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ))
65orbi2i 912 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (𝑦 ∈ π‘œ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ)) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)))
74, 6bitri 275 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)))
87rexbii 3095 . . . . . 6 (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)))
9 rexnal 3101 . . . . . 6 (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 Β¬ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ Β¬ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ))
108, 9bitr3i 277 . . . . 5 (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)) ↔ Β¬ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ))
113, 10imbi12i 351 . . . 4 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ))) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝑦 β†’ Β¬ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
122, 11bitr4i 278 . . 3 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ))))
13122ralbii 3129 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ))))
141, 13bitrdi 287 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐽 ((π‘₯ ∈ π‘œ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ π‘œ) ∨ (Β¬ π‘₯ ∈ π‘œ ∧ 𝑦 ∈ π‘œ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  β€˜cfv 6541  TopOnctopon 22404  Kol2ct0 22802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-topon 22405  df-t0 22809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator