Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-3 21950
 Description: The predicate "is a T0 space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 21949 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 319 . . . 4 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
3 df-ne 2988 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4 xor 1012 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)))
5 ancom 464 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))
65orbi2i 910 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
74, 6bitri 278 . . . . . . 7 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
87rexbii 3210 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
9 rexnal 3201 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
108, 9bitr3i 280 . . . . 5 (∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
113, 10imbi12i 354 . . . 4 ((𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
122, 11bitr4i 281 . . 3 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
13122ralbii 3134 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
141, 13syl6bb 290 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ‘cfv 6324  TopOnctopon 21515  Kol2ct0 21911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-topon 21516  df-t0 21918 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator