MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-3 21641
Description: The predicate "is a T0 space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 21640 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 317 . . . 4 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
3 df-ne 2987 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4 xor 1009 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)))
5 ancom 461 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))
65orbi2i 907 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
74, 6bitri 276 . . . . . . 7 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
87rexbii 3213 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
9 rexnal 3204 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
108, 9bitr3i 278 . . . . 5 (∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
113, 10imbi12i 352 . . . 4 ((𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
122, 11bitr4i 279 . . 3 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
13122ralbii 3135 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
141, 13syl6bb 288 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  cfv 6232  TopOnctopon 21206  Kol2ct0 21602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fv 6240  df-topon 21207  df-t0 21609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator