MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-3 23369
Description: The predicate "is a T0 space" expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 23368 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 316 . . . 4 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
3 df-ne 2939 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4 xor 1016 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)))
5 ancom 460 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))
65orbi2i 912 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
74, 6bitri 275 . . . . . . 7 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
87rexbii 3092 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
9 rexnal 3098 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
108, 9bitr3i 277 . . . . 5 (∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
113, 10imbi12i 350 . . . 4 ((𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
122, 11bitr4i 278 . . 3 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
13122ralbii 3126 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
141, 13bitrdi 287 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cfv 6563  TopOnctopon 22932  Kol2ct0 23330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topon 22933  df-t0 23337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator