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Theorem cnt0 21371
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21265 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnima 21290 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
53, 4sylan 569 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
6 eleq2 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝐹𝑤)))
7 eleq2 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
86, 7bibi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
98rspcv 3456 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾
1311, 12cnf 21271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
15 ffn 6185 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 Fn 𝐽)
17 elpreima 6480 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
19 simprl 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥 𝐽)
2019biantrurd 522 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
2118, 20bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤))
22 elpreima 6480 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
24 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
2524biantrurd 522 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2623, 25bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
2721, 26bibi12d 334 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2827adantr 466 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2910, 28sylibd 229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
3029ralrimdva 3118 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
31 simpl1 1227 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3214, 19ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
3314, 24ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
3412t0sep 21349 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3531, 32, 33, 34syl12anc 1474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3630, 35syld 47 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
37 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
38 fdm 6191 . . . . . . . 8 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
3914, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝐽)
40 f1dm 6245 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4137, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐽 = 𝑋)
4319, 42eleqtrd 2852 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥𝑋)
4424, 42eleqtrd 2852 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦𝑋)
45 f1fveq 6662 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4637, 43, 44, 45syl12anc 1474 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4736, 46sylibd 229 . . 3 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4847ralrimivva 3120 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4911ist0 21345 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
502, 48, 49sylanbrc 572 1 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   cuni 4574  ccnv 5248  dom cdm 5249  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  1-1wf1 6028  cfv 6031  (class class class)co 6793  Topctop 20918   Cn ccn 21249  Kol2ct0 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-top 20919  df-topon 20936  df-cn 21252  df-t0 21338
This theorem is referenced by:  restt0  21391  sst0  21398  t0hmph  21814
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