Theorem cnt0 21951

Description: The preimage of a T₀ topology under an injective map is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt0	⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 21845	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cnima 21870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
6		eleq2 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
7		eleq2 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
8	6, 7	bibi12d 349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
9	8	rspcv 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
11		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
14	12, 13	cnf 21851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
16	15	ffnd 6488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
17		elpreima 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
19	11, 18	mpbirand 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))
20		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)
21		elpreima 6805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
23	20, 22	mpbirand 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))
24	19, 23	bibi12d 349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
26	10, 25	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
27	26	ralrimdva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
28		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
29	15, 11	ffvelrnd 6829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾)
30	15, 20	ffvelrnd 6829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)
31	13	t0sep 21929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
32	28, 29, 30, 31	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
33	27, 32	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
34		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:𝑋–1-1→𝑌)
35	15	fdmd 6497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
36		f1dm 6553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
38	35, 37	eqtr3d 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ∪ 𝐽 = 𝑋)
39	11, 38	eleqtrd 2892	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
40	20, 38	eleqtrd 2892	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
41		f1fveq 6998	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	34, 39, 40, 41	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 42	sylibd 242	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	ralrimivva 3156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
45	12	ist0 21925	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
46	2, 44, 45	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∪ cuni 4800  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Topctop 21498   Cn ccn 21829  Kol2ct0 21911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-top 21499  df-topon 21516  df-cn 21832  df-t0 21918

This theorem is referenced by:  restt0  21971  sst0  21978  t0hmph  22395