Theorem cnt0 23691

Description: The preimage of a T₀ topology under an injective map is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt0	⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cnima 23610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
6		eleq2 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
7		eleq2 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
8	6, 7	bibi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
9	8	rspcv 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
10	5, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
11		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
14	12, 13	cnf 23591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
15	3, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
16	15	ffnd 6729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
17		elpreima 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
19	11, 18	mpbirand 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))
20		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)
21		elpreima 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
22	16, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
23	20, 22	mpbirand 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))
24	19, 23	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
26	10, 25	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
27	26	ralrimdva 3166	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
28		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
29	15, 11	ffvelcdmd 7106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾)
30	15, 20	ffvelcdmd 7106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)
31	13	t0sep 23669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
32	28, 29, 30, 31	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
33	27, 32	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
34		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌)
35	15	fdmd 6739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
36		f1dm 6803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
37	34, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
38	35, 37	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ∪ 𝐽 = 𝑋)
39	11, 38	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
40	20, 38	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
41		f1fveq 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	34, 39, 40, 41	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 42	sylibd 242	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
45	12	ist0 23665	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
46	2, 44, 45	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋⟶1-1𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Topctop 23238   Cn ccn 23569  Kol2ct0 23651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-top 23239  df-topon 23256  df-cn 23572  df-t0 23658

This theorem is used by:  restt0  23711  sst0  23718  t0hmph  24136