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Theorem cnt0 21870
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21764 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1129 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnima 21789 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
53, 4sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
6 eleq2 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝐹𝑤)))
7 eleq2 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
86, 7bibi12d 347 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
98rspcv 3621 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
11 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥 𝐽)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
13 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾
1412, 13cnf 21770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
153, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
1615ffnd 6511 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 Fn 𝐽)
17 elpreima 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
1911, 18mpbirand 703 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤))
20 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
21 elpreima 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2320, 22mpbirand 703 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
2419, 23bibi12d 347 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2610, 25sylibd 240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2726ralrimdva 3193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
28 simpl1 1185 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
2915, 11ffvelrnd 6847 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
3015, 20ffvelrnd 6847 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
3113t0sep 21848 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3228, 29, 30, 31syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3327, 32syld 47 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
34 simpl2 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
3515fdmd 6519 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝐽)
36 f1dm 6575 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
3734, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
3835, 37eqtr3d 2862 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐽 = 𝑋)
3911, 38eleqtrd 2919 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥𝑋)
4020, 38eleqtrd 2919 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦𝑋)
41 f1fveq 7017 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4234, 39, 40, 41syl12anc 834 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4333, 42sylibd 240 . . 3 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4443ralrimivva 3195 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4512ist0 21844 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
462, 44, 45sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142   cuni 4836  ccnv 5552  dom cdm 5553  cima 5556   Fn wfn 6346  wf 6347  1-1wf1 6348  cfv 6351  (class class class)co 7151  Topctop 21417   Cn ccn 21748  Kol2ct0 21830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-map 8401  df-top 21418  df-topon 21435  df-cn 21751  df-t0 21837
This theorem is referenced by:  restt0  21890  sst0  21897  t0hmph  22314
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