Theorem cnt0 23307

Description: The preimage of a T₀ topology under an injective map is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt0	⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23201	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cnima 23226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
6		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
7		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
8	6, 7	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
9	8	rspcv 3574	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
11		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
14	12, 13	cnf 23207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
16	15	ffnd 6673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
17		elpreima 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
19	11, 18	mpbirand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))
20		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)
21		elpreima 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
23	20, 22	mpbirand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))
24	19, 23	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
26	10, 25	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
27	26	ralrimdva 3138	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
28		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
29	15, 11	ffvelcdmd 7041	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾)
30	15, 20	ffvelcdmd 7041	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)
31	13	t0sep 23285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
32	28, 29, 30, 31	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
33	27, 32	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
34		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:𝑋–1-1→𝑌)
35	15	fdmd 6682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
36		f1dm 6744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
38	35, 37	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ∪ 𝐽 = 𝑋)
39	11, 38	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
40	20, 38	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
41		f1fveq 7220	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	34, 39, 40, 41	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 42	sylibd 239	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
45	12	ist0 23281	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
46	2, 44, 45	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   “ cima 5637   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  –1-1→wf1 6499  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Topctop 22854   Cn ccn 23185  Kol2ct0 23267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-map 8779  df-top 22855  df-topon 22872  df-cn 23188  df-t0 23274

This theorem is referenced by:  restt0  23327  sst0  23334  t0hmph  23751