Theorem cnt0 22697

Description: The preimage of a T₀ topology under an injective map is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt0	⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 22591	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cnima 22616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽)
6		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
7		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))
8	6, 7	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
9	8	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))))
11		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
14	12, 13	cnf 22597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
16	15	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
17		elpreima 7008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)))
19	11, 18	mpbirand 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))
20		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)
21		elpreima 7008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn ∪ 𝐽 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
23	20, 22	mpbirand 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))
24	19, 23	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
26	10, 25	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
27	26	ralrimdva 3151	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)))
28		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
29	15, 11	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾)
30	15, 20	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)
31	13	t0sep 22675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
32	28, 29, 30, 31	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
33	27, 32	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
34		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:𝑋–1-1→𝑌)
35	15	fdmd 6679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
36		f1dm 6742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
38	35, 37	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ∪ 𝐽 = 𝑋)
39	11, 38	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
40	20, 38	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
41		f1fveq 7209	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
42	34, 39, 40, 41	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	33, 42	sylibd 238	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
45	12	ist0 22671	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
46	2, 44, 45	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Topctop 22242   Cn ccn 22575  Kol2ct0 22657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-top 22243  df-topon 22260  df-cn 22578  df-t0 22664

This theorem is referenced by:  restt0  22717  sst0  22724  t0hmph  23141