MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-2 22693
Description: The predicate "is a T0 space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist0-2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-2
StepHypRef Expression
1 topontop 22260 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2736 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
32ist0 22669 . . . 4 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
43baib 536 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
51, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
6 toponuni 22261 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
76raleqdv 3313 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
86, 7raleqbidv 3319 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
95, 8bitr4d 281 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106  wral 3064   cuni 4865  cfv 6496  Topctop 22240  TopOnctopon 22257  Kol2ct0 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-topon 22258  df-t0 22662
This theorem is referenced by:  ist0-3  22694  t1t0  22697  ist0-4  23078  kqt0lem  23085  tgpt0  23468  onsuct0  34904
  Copyright terms: Public domain W3C validator