MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-2 23170
Description: The predicate "is a T0 space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist0-2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,π‘œ,𝐽   π‘œ,𝑋,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ist0-2
StepHypRef Expression
1 topontop 22737 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2724 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
32ist0 23146 . . . 4 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
43baib 535 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
51, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6 toponuni 22738 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
76raleqdv 3317 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
86, 7raleqbidv 3334 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ 𝐽(βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
95, 8bitr4d 282 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆͺ cuni 4899  β€˜cfv 6533  Topctop 22717  TopOnctopon 22734  Kol2ct0 23132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topon 22735  df-t0 23139
This theorem is referenced by:  ist0-3  23171  t1t0  23174  ist0-4  23555  kqt0lem  23562  tgpt0  23945  onsuct0  35816
  Copyright terms: Public domain W3C validator