Theorem ist0-2 23671

Description: The predicate "is a T₀ space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-2	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 23240	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	ist0 23647	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
4	3	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
6		toponuni 23241	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
7	6	raleqdv 3319	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
8	6, 7	raleqbidv 3334	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
9	5, 8	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑦 ∈ 𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6543  Topctop 23220  TopOnctopon 23237  Kol2ct0 23633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topon 23238  df-t0 23640

This theorem is used by:  ist0-3  23672  t1t0  23675  ist0-4  24057  kqt0lem  24064  tgpt0  24447  onsuct0  37353