Theorem iswatN 39993

Description: The predicate "is a W atom" (corresponding to fiducial atom 𝐷). (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
watomfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
watomfval.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
watomfval.w	⊢ 𝑊 = (WAtoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iswatN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))

Proof of Theorem iswatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		watomfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		watomfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3		watomfval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (WAtoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	watvalN 39992	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝐷) = (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})))
5	4	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))
6		eldif 3915	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})))
7	5, 6	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  Atomscatm 39261  ⊥_𝑃cpolN 39901  WAtomscwpointsN 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-watsN 39989

This theorem is referenced by: (None)