Theorem iswatN 40486

Description: The predicate "is a W atom" (corresponding to fiducial atom 𝐷). (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
watomfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
watomfval.p	⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
watomfval.w	⊢ 𝑊 = (WAtoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
iswatN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))

Proof of Theorem iswatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		watomfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		watomfval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (⊥𝑃‘𝐾)
3		watomfval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (WAtoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	watvalN 40485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑊‘𝐷) = (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})))
5	4	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ 𝑃 ∈ (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))
6		eldif 3893	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝐴 ∖ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷})))
7	5, 6	bitrdi 288	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ (𝑊‘𝐷) ↔ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ∈ ((⊥𝑃‘𝐾)‘{𝐷}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  {csn 4555  ‘cfv 6485  Atomscatm 39755  ⊥_𝑃cpolN 40394  WAtomscwpointsN 40478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-watsN 40482

This theorem is referenced by: (None)