Theorem itgocn 43197

Description: All integral elements are complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgocn	⊢ (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ

Proof of Theorem itgocn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itgo 43192	. . . . 5 ⊢ IntgOver = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ (Poly‘𝑎)((𝑐‘𝑏) = 0 ∧ ((coeff‘𝑐)‘(deg‘𝑐)) = 1)})
2	1	dmmptss 6183	. . . 4 ⊢ dom IntgOver ⊆ 𝒫 ℂ
3	2	sseli 3925	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom IntgOver → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
4		cnex 11082	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	elpw2 5267	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
6		itgoval 43194	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑆) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
7		ssrab2 4025	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)} ⊆ ℂ
8	6, 7	eqsstrdi 3974	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
9	5, 8	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
11		ndmfv 6849	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) = ∅)
12		0ss 4345	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
13	11, 12	eqsstrdi 3974	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
14	10, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4545  dom cdm 5611  ‘cfv 6476  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002  Polycply 26111  coeffccoe 26113  degcdgr 26114  IntgOvercitgo 43190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-cnex 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-itgo 43192

This theorem is referenced by: (None)