Theorem itgocn 44431

Description: All integral elements are complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgocn	⊢ (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ

Proof of Theorem itgocn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itgo 44426	. . . . 5 ⊢ IntgOver = (𝑎 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ (Poly‘𝑎)((𝑐‘𝑏) = 0 ∧ ((coeff‘𝑐)‘(deg‘𝑐)) = 1)})
2	1	dmmptss 6261	. . . 4 ⊢ dom IntgOver ⊆ 𝒫 ℂ
3	2	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom IntgOver → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
4		cnex 11320	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	elpw2 5303	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
6		itgoval 44428	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑆) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
7		ssrab2 4008	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)} ⊆ ℂ
8	6, 7	eqsstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
9	5, 8	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
10	3, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
11		ndmfv 6948	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) = ∅)
12		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℂ
13	11, 12	eqsstrdi 3957	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ dom IntgOver → (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ)
14	10, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (IntgOver‘𝑆) ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240  Polycply 26557  coeffccoe 26559  degcdgr 26560  IntgOvercitgo 44424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-cnex 11295

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-itgo 44426

This theorem is used by: (None)