Theorem itgoss 44259

Description: An integral element is integral over a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgoss	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (IntgOver‘𝑆) ⊆ (IntgOver‘𝑇))

Proof of Theorem itgoss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyss 26523	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))
2		ssrexv 3978	. . . . 5 ⊢ ((Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇) → (∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1) → ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1) → ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1) → ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)))
5	4	ss2rabdv 4000	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)} ⊆ {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
6		sstr 3916	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7		itgoval 44257	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑆) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (IntgOver‘𝑆) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
9		itgoval 44257	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ℂ → (IntgOver‘𝑇) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (IntgOver‘𝑇) = {𝑎 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (Poly‘𝑇)((𝑏‘𝑎) = 0 ∧ ((coeff‘𝑏)‘(deg‘𝑏)) = 1)})
11	5, 8, 10	3sstr4d 3963	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (IntgOver‘𝑆) ⊆ (IntgOver‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205  Polycply 26508  coeffccoe 26510  degcdgr 26511  IntgOvercitgo 44253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-map 8853  df-nn 12340  df-n0 12611  df-ply 26512  df-itgo 44255

This theorem is used by: (None)