Theorem cnsrexpcl 43625

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑0))
3	2	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
4	3	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑏))
6	5	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
7	6	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
9	8	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
10	9	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑌))
12	11	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
13	12	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)))
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		cnfldbas 21355	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	exp0d 14097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21		cnfld1 21376	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	21	subrg1cl 20556	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
24	20, 23	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25	19	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26		simp1 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expp1d 14104	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) · 𝑋))
28	14	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29		simp3 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30	18	3ad2ant2 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		cnfldmul 21359	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	31	subrgmcl 20560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	27, 33	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35	34	3exp 1126	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 12619	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
38	1, 37	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018  SubRingcsubrg 20545  ℂ_fldccnfld 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-cnfld 21352

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  43627