Theorem cnsrexpcl 43593

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑0))
3	2	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑏))
6	5	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
9	8	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑌))
12	11	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)))
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		cnfldbas 21356	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	exp0d 14102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21		cnfld1 21377	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	21	subrg1cl 20557	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
24	20, 23	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25	19	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expp1d 14109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) · 𝑋))
28	14	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30	18	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		cnfldmul 21360	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	31	subrgmcl 20561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	27, 33	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35	34	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 12624	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
38	1, 37	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023  SubRingcsubrg 20546  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  43595