Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnsrexpcl 42654
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrexpcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
2 oveq2 7424 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑0))
32eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
43imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5 oveq2 7424 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑𝑏))
65eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
76imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8 oveq2 7424 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
98eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
109imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11 oveq2 7424 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (π‘‹β†‘π‘Œ))
1211eleq1d 2810 . . . 4 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
1312imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)))
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
15 cnfldbas 21287 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1615subrgss 20515 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
1917, 18sseldd 3973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2019exp0d 14136 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) = 1)
21 cnfld1 21325 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
2221subrg1cl 20523 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 ∈ 𝑆)
2314, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑆)
2420, 23eqeltrd 2825 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25193ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
26 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
2725, 26expp1d 14143 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋))
28143ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
29 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30183ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
31 cnfldmul 21291 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3231subrgmcl 20527 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3427, 33eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35343exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
3635a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 12687 . 2 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
381, 37mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502  β†‘cexp 14058  SubRingcsubrg 20510  β„‚fldccnfld 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  42656
  Copyright terms: Public domain W3C validator