Theorem cnsrexpcl 43141

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑0))
3	2	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑏))
6	5	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
9	8	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑌))
12	11	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)))
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		cnfldbas 21283	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	exp0d 14065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21		cnfld1 21318	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	21	subrg1cl 20483	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
24	20, 23	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expp1d 14072	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) · 𝑋))
28	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30	18	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		cnfldmul 21287	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	31	subrgmcl 20487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	27, 33	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35	34	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 12589	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
38	1, 37	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  SubRingcsubrg 20472  ℂ_fldccnfld 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-cnfld 21280

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  43143