Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnsrexpcl 42485
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrexpcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
2 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑0))
32eleq1d 2812 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
43imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑𝑏))
65eleq1d 2812 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
76imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
98eleq1d 2812 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
109imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (π‘‹β†‘π‘Œ))
1211eleq1d 2812 . . . 4 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
1312imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)))
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
15 cnfldbas 21244 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1615subrgss 20474 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
1917, 18sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2019exp0d 14110 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) = 1)
21 cnfld1 21282 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
2221subrg1cl 20482 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 ∈ 𝑆)
2314, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑆)
2420, 23eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25193ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
26 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
2725, 26expp1d 14117 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋))
28143ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
29 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30183ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
31 cnfldmul 21248 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3231subrgmcl 20486 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3427, 33eqeltrd 2827 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35343exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
3635a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 12661 . 2 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
381, 37mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14032  SubRingcsubrg 20469  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  42487
  Copyright terms: Public domain W3C validator