Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnsrexpcl 41892
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
cnsrexpcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
2 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑0))
32eleq1d 2818 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
43imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑𝑏))
65eleq1d 2818 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
76imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
98eleq1d 2818 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
109imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘Ž = π‘Œ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) = (π‘‹β†‘π‘Œ))
1211eleq1d 2818 . . . 4 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆 ↔ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
1312imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = π‘Œ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Ž) ∈ 𝑆) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)))
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
15 cnfldbas 20940 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1615subrgss 20356 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
1917, 18sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2019exp0d 14101 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) = 1)
21 cnfld1 20962 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
2221subrg1cl 20363 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 ∈ 𝑆)
2314, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑆)
2420, 23eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25193ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
26 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
2725, 26expp1d 14108 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋))
28143ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
29 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30183ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
31 cnfldmul 20942 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3231subrgmcl 20367 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ ((𝑋↑𝑏) Β· 𝑋) ∈ 𝑆)
3427, 33eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ πœ‘ ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35343exp 1119 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
3635a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 12653 . 2 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆))
381, 37mpcom 38 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹β†‘π‘Œ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023  SubRingcsubrg 20351  β„‚fldccnfld 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-cnfld 20937
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  41894
  Copyright terms: Public domain W3C validator