Theorem cnsrexpcl 40990

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑0))
3	2	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
4	3	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑏))
6	5	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
7	6	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
9	8	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
10	9	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑌))
12	11	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
13	12	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)))
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		cnfldbas 20601	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	exp0d 13858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21		cnfld1 20623	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	21	subrg1cl 20032	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
24	20, 23	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25	19	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expp1d 13865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) · 𝑋))
28	14	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30	18	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		cnfldmul 20603	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	31	subrgmcl 20036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	27, 33	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35	34	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 12415	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
38	1, 37	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  SubRingcsubrg 20020  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  40992