Theorem cnsrexpcl 40693

Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsrexpcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
cnsrexpcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
cnsrexpcl	⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsrexpcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑0))
3	2	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
4	3	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑏))
6	5	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆))
7	6	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)))
8		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
9	8	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
10	9	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11		oveq2 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋↑𝑎) = (𝑋↑𝑌))
12	11	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
13	12	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)))
14		cnsrexpcl.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15		cnfldbas 20367	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 19801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		cnsrexpcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
19	17, 18	sseldd 3902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	exp0d 13710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21		cnfld1 20388	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	21	subrg1cl 19808	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
24	20, 23	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25	19	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26		simp1 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	25, 26	expp1d 13717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋↑𝑏) · 𝑋))
28	14	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆)
30	18	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		cnfldmul 20369	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
32	31	subrgmcl 19812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	28, 29, 30, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋↑𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	27, 33	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑 ∧ (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35	34	3exp 1121	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋↑𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
37	4, 7, 10, 13, 24, 36	nn0ind 12272	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆))
38	1, 37	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  ℕ₀cn0 12090  ↑cexp 13635  SubRingcsubrg 19796  ℂ_fldccnfld 20363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-subg 18540  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-subrg 19798  df-cnfld 20364

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  40695