Theorem lvecvs0or 21201

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 31286 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
3	2	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4		lvecmul0or.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lvecmul0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lvecdrng 21195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9		lvecmul0or.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐾)
11		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ≠ 𝑂)
12		lvecmul0or.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lvecmul0or.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
14		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
15		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
16		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
17	12, 13, 14, 15, 16	drnginvrl 20830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
18	8, 10, 11, 17	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
19	18	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
20		lveclmod 21196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21	4, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
23	12, 13, 16	drnginvrcl 20827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25		lvecmul0or.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lvecmul0or.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		lvecmul0or.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	27, 6, 28, 12, 14	lmodvsass 20977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
30	22, 24, 10, 26, 29	syl13anc 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31	27, 6, 28, 15	lmodvs1 20980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
32	21, 25, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
34	19, 30, 33	3eqtr3d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
35	34	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
36	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
38	24	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39		lvecmul0or.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
41	37, 38, 40	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
42	3, 35, 41	3eqtr3d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 = 0 )
43	42	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 ≠ 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
44	1, 43	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
45	44	orrd 876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
46	45	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
47	27, 6, 28, 13, 39	lmod0vs 20985	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
48	21, 25, 47	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
50	49	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
51	48, 50	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
52	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20986	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
53	21, 9, 52	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
55	54	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
56	53, 55	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
57	51, 56	jaod 872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
58	46, 57	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  inv_rcinvr 20460  DivRingcdr 20804  LModclmod 20950  LVecclvec 21192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lvec 21193

This theorem is referenced by:  lvecvsn0  21202  lvecvscan  21204  lvecvscan2  21205  lindssn  33607  lkreqN  39806  lkrlspeqN  39807  hdmap14lem6  42509  hgmapval0  42528