MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvs0or 20585
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 30009 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmul0or.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmul0or.o 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
lvecmul0or.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmul0or.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecvs0or (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝑂 ↔ Β¬ 𝐴 = 𝑂)
2 oveq2 7366 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ))
4 lvecmul0or.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lvecmul0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
76lvecdrng 20581 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
9 lvecmul0or.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐴 β‰  𝑂)
12 lvecmul0or.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 lvecmul0or.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (invrβ€˜πΉ) = (invrβ€˜πΉ)
1712, 13, 14, 15, 16drnginvrl 20220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
188, 10, 11, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
20 lveclmod 20582 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
214, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2312, 13, 16drnginvrcl 20217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
248, 10, 11, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
25 lvecmul0or.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lvecmul0or.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 lvecmul0or.s . . . . . . . . . . 11 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2927, 6, 28, 12, 14lmodvsass 20362 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
3022, 24, 10, 26, 29syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
3127, 6, 28, 15lmodvs1 20365 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3221, 25, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3419, 30, 333eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
3534adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
3621adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3824adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
39 lvecmul0or.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
406, 28, 12, 39lmodvs0 20371 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ) = 0 )
4137, 38, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ) = 0 )
423, 35, 413eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝑋 = 0 )
4342ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (𝐴 β‰  𝑂 β†’ 𝑋 = 0 ))
441, 43biimtrrid 242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑂 β†’ 𝑋 = 0 ))
4544orrd 862 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
4645ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 β†’ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
4727, 6, 28, 13, 39lmod0vs 20370 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
4821, 25, 47syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
49 oveq1 7365 . . . . 5 (𝐴 = 𝑂 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝑂 Β· 𝑋))
5049eqeq1d 2735 . . . 4 (𝐴 = 𝑂 β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 ))
5148, 50syl5ibrcom 247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝑂 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
526, 28, 12, 39lmodvs0 20371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 Β· 0 ) = 0 )
5321, 9, 52syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0 ) = 0 )
54 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· 0 ))
5554eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑋 = 0 β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 Β· 0 ) = 0 ))
5653, 55syl5ibrcom 247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 0 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
5751, 56jaod 858 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
5846, 57impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  1rcur 19918  invrcinvr 20105  DivRingcdr 20197  LModclmod 20336  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  lvecvsn0  20586  lvecvscan  20588  lvecvscan2  20589  lindssn  32213  lkreqN  37678  lkrlspeqN  37679  hdmap14lem6  40382  hgmapval0  40401
  Copyright terms: Public domain W3C validator