Theorem lvecvs0or 21055

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 31016 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2		oveq2 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4		lvecmul0or.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lvecmul0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lvecdrng 21049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9		lvecmul0or.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐾)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ≠ 𝑂)
12		lvecmul0or.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lvecmul0or.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
14		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
15		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
16		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
17	12, 13, 14, 15, 16	drnginvrl 20681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
18	8, 10, 11, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
19	18	oveq1d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
20		lveclmod 21050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21	4, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
23	12, 13, 16	drnginvrcl 20678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25		lvecmul0or.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lvecmul0or.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		lvecmul0or.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	27, 6, 28, 12, 14	lmodvsass 20830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
30	22, 24, 10, 26, 29	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31	27, 6, 28, 15	lmodvs1 20833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
32	21, 25, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
34	19, 30, 33	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
35	34	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
36	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
38	24	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39		lvecmul0or.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
41	37, 38, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
42	3, 35, 41	3eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 = 0 )
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 ≠ 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
44	1, 43	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
45	44	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
46	45	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
47	27, 6, 28, 13, 39	lmod0vs 20838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
48	21, 25, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49		oveq1 7362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
50	49	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
51	48, 50	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
52	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20839	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
53	21, 9, 52	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
55	54	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
56	53, 55	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
57	51, 56	jaod 859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
58	46, 57	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  ._rcmulr 17172  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353  1_rcur 20109  inv_rcinvr 20315  DivRingcdr 20654  LModclmod 20803  LVecclvec 21046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lvec 21047

This theorem is referenced by:  lvecvsn0  21056  lvecvscan  21058  lvecvscan2  21059  lindssn  33354  lkreqN  39279  lkrlspeqN  39280  hdmap14lem6  41982  hgmapval0  42001