MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvs0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvs0or 20569
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 29967 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmul0or.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o 𝑂 = (0g𝐹)
lvecmul0or.z 0 = (0g𝑊)
lvecmul0or.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmul0or.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecvs0or (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2944 . . . . 5 (𝐴𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2 oveq2 7365 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ))
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4 lvecmul0or.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lvecmul0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76lvecdrng 20566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9 lvecmul0or.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐾)
109adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴𝐾)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝐴𝑂)
12 lvecmul0or.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lvecmul0or.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (0g𝐹)
14 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝐹) = (.r𝐹)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐹) = (1r𝐹)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (invr𝐹) = (invr𝐹)
1712, 13, 14, 15, 16drnginvrl 20208 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
188, 10, 11, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) = (1r𝐹))
1918oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
20 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
214, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
2312, 13, 16drnginvrcl 20205 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴𝐾𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
248, 10, 11, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25 lvecmul0or.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
2625adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑂) → 𝑋𝑉)
27 lvecmul0or.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 lvecmul0or.s . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝑊)
2927, 6, 28, 12, 14lmodvsass 20347 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑋𝑉)) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
3022, 24, 10, 26, 29syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((((invr𝐹)‘𝐴)(.r𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
3127, 6, 28, 15lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3221, 25, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑂) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
3419, 30, 333eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
3534adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
3621adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3736adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
3824adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39 lvecmul0or.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
406, 28, 12, 39lmodvs0 20356 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
4137, 38, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → (((invr𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
423, 35, 413eqtr3d 2784 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴𝑂) → 𝑋 = 0 )
4342ex 413 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴𝑂𝑋 = 0 ))
441, 43biimtrrid 242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ))
4544orrd 861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ))
4645ex 413 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))
4727, 6, 28, 13, 39lmod0vs 20355 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
4821, 25, 47syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49 oveq1 7364 . . . . 5 (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
5049eqeq1d 2738 . . . 4 (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
5148, 50syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
526, 28, 12, 39lmodvs0 20356 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
5321, 9, 52syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
5554eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
5653, 55syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
5751, 56jaod 857 . 2 (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
5846, 57impbid 211 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  1rcur 19913  invrcinvr 20100  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  lvecvsn0  20570  lvecvscan  20572  lvecvscan2  20573  lindssn  32166  lkreqN  37632  lkrlspeqN  37633  hdmap14lem6  40336  hgmapval0  40355
  Copyright terms: Public domain W3C validator