Theorem lvecvs0or 21096

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 31116 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
3	2	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4		lvecmul0or.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lvecmul0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lvecdrng 21090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9		lvecmul0or.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐾)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ≠ 𝑂)
12		lvecmul0or.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lvecmul0or.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
17	12, 13, 14, 15, 16	drnginvrl 20722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
18	8, 10, 11, 17	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
20		lveclmod 21091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21	4, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
23	12, 13, 16	drnginvrcl 20719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25		lvecmul0or.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lvecmul0or.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		lvecmul0or.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	27, 6, 28, 12, 14	lmodvsass 20871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
30	22, 24, 10, 26, 29	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31	27, 6, 28, 15	lmodvs1 20874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
32	21, 25, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
34	19, 30, 33	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
35	34	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
36	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
38	24	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39		lvecmul0or.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
41	37, 38, 40	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
42	3, 35, 41	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 = 0 )
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 ≠ 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
44	1, 43	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
45	44	orrd 864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
46	45	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
47	27, 6, 28, 13, 39	lmod0vs 20879	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
48	21, 25, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
50	49	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
51	48, 50	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
52	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
53	21, 9, 52	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
55	54	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
56	53, 55	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
57	51, 56	jaod 860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
58	46, 57	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  1_rcur 20151  inv_rcinvr 20356  DivRingcdr 20695  LModclmod 20844  LVecclvec 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lvec 21088

This theorem is referenced by:  lvecvsn0  21097  lvecvscan  21099  lvecvscan2  21100  lindssn  33458  lkreqN  39627  lkrlspeqN  39628  hdmap14lem6  42330  hgmapval0  42349