Theorem lvecvs0or 21211

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 31343 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2957	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
3	2	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4		lvecmul0or.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lvecmul0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lvecdrng 21205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9		lvecmul0or.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐾)
11		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ≠ 𝑂)
12		lvecmul0or.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lvecmul0or.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
15		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
17	12, 13, 14, 15, 16	drnginvrl 20840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
18	8, 10, 11, 17	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
19	18	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
20		lveclmod 21206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21	4, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
23	12, 13, 16	drnginvrcl 20837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25		lvecmul0or.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lvecmul0or.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		lvecmul0or.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	27, 6, 28, 12, 14	lmodvsass 20987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
30	22, 24, 10, 26, 29	syl13anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31	27, 6, 28, 15	lmodvs1 20990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
32	21, 25, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
34	19, 30, 33	3eqtr3d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
35	34	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
36	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
38	24	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39		lvecmul0or.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
41	37, 38, 40	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
42	3, 35, 41	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 = 0 )
43	42	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 ≠ 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
44	1, 43	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
45	44	orrd 876	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
46	45	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
47	27, 6, 28, 13, 39	lmod0vs 20995	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
48	21, 25, 47	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
50	49	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
51	48, 50	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
52	6, 28, 12, 39	lmodvs0 20996	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
53	21, 9, 52	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
55	54	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
56	53, 55	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
57	51, 56	jaod 872	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
58	46, 57	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  inv_rcinvr 20468  DivRingcdr 20812  LModclmod 20960  LVecclvec 21202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lvec 21203

This theorem is referenced by:  lvecvsn0  21212  lvecvscan  21214  lvecvscan2  21215  lindssn  33657  lkreqN  39912  lkrlspeqN  39913  hdmap14lem6  42615  hgmapval0  42634