Theorem lvecvs0or 21416

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 31657 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lvecmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmul0or.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmul0or.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecvs0or	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem lvecvs0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2960	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝑂 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑂)
2		oveq2 7451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
3	2	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ))
4		lvecmul0or.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lvecmul0or.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lvecdrng 21410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐹 ∈ DivRing)
9		lvecmul0or.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐾)
11		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝐴 ≠ 𝑂)
12		lvecmul0or.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
13		lvecmul0or.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invr‘𝐹) = (invr‘𝐹)
17	12, 13, 14, 15, 16	drnginvrl 21044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
18	8, 10, 11, 17	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) = (1r‘𝐹))
19	18	oveq1d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
20		lveclmod 21411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
21	4, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
23	12, 13, 16	drnginvrcl 21041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
24	8, 10, 11, 23	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
25		lvecmul0or.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lvecmul0or.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
28		lvecmul0or.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
29	27, 6, 28, 12, 14	lmodvsass 21192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
30	22, 24, 10, 26, 29	syl13anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((((invr‘𝐹)‘𝐴)(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑋) = (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)))
31	27, 6, 28, 15	lmodvs1 21195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
32	21, 25, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
34	19, 30, 33	3eqtr3d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
35	34	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · (𝐴 · 𝑋)) = 𝑋)
36	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑊 ∈ LMod)
38	24	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)
39		lvecmul0or.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
40	6, 28, 12, 39	lmodvs0 21201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
41	37, 38, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → (((invr‘𝐹)‘𝐴) · 0 ) = 0 )
42	3, 35, 41	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝑂) → 𝑋 = 0 )
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 ≠ 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
44	1, 43	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (¬ 𝐴 = 𝑂 → 𝑋 = 0 ))
45	44	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝑋) = 0 ) → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
46	45	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 → (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
47	27, 6, 28, 13, 39	lmod0vs 21200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
48	21, 25, 47	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 · 𝑋) = 0 )
49		oveq1 7450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
50	49	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝑂 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 · 𝑋) = 0 ))
51	48, 50	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑂 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
52	6, 28, 12, 39	lmodvs0 21201	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐴 · 0 ) = 0 )
53	21, 9, 52	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0 ) = 0 )
54		oveq2 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 0 ))
55	54	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 · 0 ) = 0 ))
56	53, 55	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
57	51, 56	jaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝐴 · 𝑋) = 0 ))
58	46, 57	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  0_gc0g 17639  1_rcur 20437  inv_rcinvr 20647  DivRingcdr 21010  LModclmod 21165  LVecclvec 21407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lvec 21408

This theorem is used by:  lvecvsn0  21417  lvecvscan  21419  lvecvscan2  21420  lindssn  34003  lkreqN  40419  lkrlspeqN  40420  hdmap14lem6  43122  hgmapval0  43141