MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvs0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lvecvs0or 20721
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (hvmul0or 30278 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmul0or.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmul0or.o 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
lvecmul0or.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmul0or.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmul0or.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmul0or.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecvs0or (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
Proof of Theorem lvecvs0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝑂 ↔ Β¬ 𝐴 = 𝑂)
2 oveq2 7417 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ))
4 lvecmul0or.w . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lvecmul0or.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
76lvecdrng 20716 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
9 lvecmul0or.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
109adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
11 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝐴 β‰  𝑂)
12 lvecmul0or.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
13 lvecmul0or.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (invrβ€˜πΉ) = (invrβ€˜πΉ)
1712, 13, 14, 15, 16drnginvrl 20382 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
188, 10, 11, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) = (1rβ€˜πΉ))
1918oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
20 lveclmod 20717 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
214, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2312, 13, 16drnginvrcl 20379 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
248, 10, 11, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
25 lvecmul0or.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lvecmul0or.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
28 lvecmul0or.s . . . . . . . . . . 11 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
2927, 6, 28, 12, 14lmodvsass 20497 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
3022, 24, 10, 26, 29syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄)(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)))
3127, 6, 28, 15lmodvs1 20500 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3221, 25, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3332adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
3419, 30, 333eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
3534adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· (𝐴 Β· 𝑋)) = 𝑋)
3621adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3824adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
39 lvecmul0or.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Š)
406, 28, 12, 39lmodvs0 20506 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ) = 0 )
4137, 38, 40syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ (((invrβ€˜πΉ)β€˜π΄) Β· 0 ) = 0 )
423, 35, 413eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) ∧ 𝐴 β‰  𝑂) β†’ 𝑋 = 0 )
4342ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (𝐴 β‰  𝑂 β†’ 𝑋 = 0 ))
441, 43biimtrrid 242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑂 β†’ 𝑋 = 0 ))
4544orrd 862 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ) β†’ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ))
4645ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 β†’ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
4727, 6, 28, 13, 39lmod0vs 20505 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
4821, 25, 47syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
49 oveq1 7416 . . . . 5 (𝐴 = 𝑂 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝑂 Β· 𝑋))
5049eqeq1d 2735 . . . 4 (𝐴 = 𝑂 β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 ))
5148, 50syl5ibrcom 246 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝑂 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
526, 28, 12, 39lmodvs0 20506 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 Β· 0 ) = 0 )
5321, 9, 52syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0 ) = 0 )
54 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐴 Β· 0 ))
5554eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑋 = 0 β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 Β· 0 ) = 0 ))
5653, 55syl5ibrcom 246 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 = 0 β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
5751, 56jaod 858 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 ) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) = 0 ))
5846, 57impbid 211 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  1rcur 20004  invrcinvr 20201  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  lvecvsn0  20722  lvecvscan  20724  lvecvscan2  20725  lindssn  32494  lkreqN  38040  lkrlspeqN  38041  hdmap14lem6  40744  hgmapval0  40763
  Copyright terms: Public domain W3C validator