Theorem lmimdim 34306

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimdim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
lmimdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmimdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmimdim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑆) = (LBasis‘𝑆)
3	2	lbsex 21473	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LVec → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
5		n0 4303	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
7		lmimdim.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
9	8	resexd 6029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V)
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12	10, 11	lmimf1o 21368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶1-1onto(Base‘𝑇))
13		f1of1 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶1-1onto(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶1-1(Base‘𝑇))
14	8, 12, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶1-1(Base‘𝑇))
15	10, 2	lbsss 21382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
17		f1ssres 6809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶1-1(Base‘𝑇) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏⟶1-1(Base‘𝑇))
18	14, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏⟶1-1(Base‘𝑇))
19		hashf1dmrn 14615	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏⟶1-1(Base‘𝑇)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
20	9, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
21		df-ima 5668	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝑏) = ran (𝐹 ↾ 𝑏)
22	21	fveq2i 6911	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐹 “ 𝑏)) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏))
23	20, 22	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
24	2	dimval 34303	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
25	1, 24	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
26		lmimlmhm 21369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
27	7, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
28		lmhmlvec 21415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
29	28	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LVec) → 𝑇 ∈ LVec)
30	27, 1, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LVec)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LVec)
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑇) = (LBasis‘𝑇)
33	2, 32	lmimlbs 22172	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
34	7, 33	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
35	32	dimval 34303	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LVec ∧ (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
36	31, 34, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
37	23, 25, 36	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
38	6, 37	exlimddv 1970	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  ⟶1-1wf1 6555  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ♯chash 14501  Basecbs 17416   LMHom clmhm 21324   LMIso clmim 21325  LBasisclbs 21379  LVecclvec 21407  dimcldim 34301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-ac2 10568  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-rpss 7763  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-ac 10222  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ocomp 17478  df-0g 17641  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-mri 17787  df-acs 17788  df-proset 18497  df-drs 18498  df-poset 18516  df-ipo 18731  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lmhm 21327  df-lmim 21328  df-lbs 21380  df-lvec 21408  df-lindf 22142  df-linds 22143  df-dim 34302

This theorem is used by:  lmicdim  34307  algextdeglem4  34422