Theorem lmimdim 33570

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimdim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
lmimdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmimdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmimdim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑆) = (LBasis‘𝑆)
3	2	lbsex 21072	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LVec → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
5		n0 4304	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
7		lmimdim.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
9	8	resexd 5979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V)
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12	10, 11	lmimf1o 20967	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
13		f1of1 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
15	10, 2	lbsss 20981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
17		f1ssres 6727	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
19		hashf1dmrn 14350	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
20	9, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
21		df-ima 5632	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝑏) = ran (𝐹 ↾ 𝑏)
22	21	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐹 “ 𝑏)) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏))
23	20, 22	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
24	2	dimval 33567	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
25	1, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
26		lmimlmhm 20968	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
27	7, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
28		lmhmlvec 21014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
29	28	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LVec) → 𝑇 ∈ LVec)
30	27, 1, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LVec)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LVec)
32		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑇) = (LBasis‘𝑇)
33	2, 32	lmimlbs 21743	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
34	7, 33	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
35	32	dimval 33567	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LVec ∧ (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
37	23, 25, 36	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
38	6, 37	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622  –1-1→wf1 6479  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ♯chash 14237  Basecbs 17120   LMHom clmhm 20923   LMIso clmim 20924  LBasisclbs 20978  LVecclvec 21006  dimcldim 33565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-oi 9402  df-r1 9660  df-rank 9661  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490  df-acs 17491  df-proset 18200  df-drs 18201  df-poset 18219  df-ipo 18434  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lmhm 20926  df-lmim 20927  df-lbs 20979  df-lvec 21007  df-lindf 21713  df-linds 21714  df-dim 33566

This theorem is referenced by:  lmicdim  33571  algextdeglem4  33687