Theorem lmimdim 33655

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimdim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
lmimdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmimdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmimdim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑆) = (LBasis‘𝑆)
3	2	lbsex 21168	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LVec → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
5		n0 4352	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
7		lmimdim.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
9	8	resexd 6045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12	10, 11	lmimf1o 21063	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
13		f1of1 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
15	10, 2	lbsss 21077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
17		f1ssres 6810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
19		hashf1dmrn 14483	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
20	9, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
21		df-ima 5697	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝑏) = ran (𝐹 ↾ 𝑏)
22	21	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐹 “ 𝑏)) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏))
23	20, 22	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
24	2	dimval 33652	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
25	1, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
26		lmimlmhm 21064	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
27	7, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
28		lmhmlvec 21110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
29	28	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LVec) → 𝑇 ∈ LVec)
30	27, 1, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LVec)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LVec)
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑇) = (LBasis‘𝑇)
33	2, 32	lmimlbs 21857	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
34	7, 33	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
35	32	dimval 33652	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LVec ∧ (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
37	23, 25, 36	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
38	6, 37	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ran crn 5685   ↾ cres 5686   “ cima 5687  –1-1→wf1 6557  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ♯chash 14370  Basecbs 17248   LMHom clmhm 21019   LMIso clmim 21020  LBasisclbs 21074  LVecclvec 21102  dimcldim 33650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-r1 9805  df-rank 9806  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-mri 17632  df-acs 17633  df-proset 18341  df-drs 18342  df-poset 18360  df-ipo 18574  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lmhm 21022  df-lmim 21023  df-lbs 21075  df-lvec 21103  df-lindf 21827  df-linds 21828  df-dim 33651

This theorem is referenced by:  lmicdim  33656  algextdeglem4  33762