Theorem lmimdim 33575

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimdim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
lmimdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmimdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmimdim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑆) = (LBasis‘𝑆)
3	2	lbsex 21090	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LVec → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
5		n0 4306	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
7		lmimdim.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
9	8	resexd 5983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V)
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12	10, 11	lmimf1o 20985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
13		f1of1 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
15	10, 2	lbsss 20999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
17		f1ssres 6731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
19		hashf1dmrn 14368	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
20	9, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
21		df-ima 5636	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝑏) = ran (𝐹 ↾ 𝑏)
22	21	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐹 “ 𝑏)) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏))
23	20, 22	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
24	2	dimval 33572	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
25	1, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
26		lmimlmhm 20986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
27	7, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
28		lmhmlvec 21032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
29	28	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LVec) → 𝑇 ∈ LVec)
30	27, 1, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LVec)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LVec)
32		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑇) = (LBasis‘𝑇)
33	2, 32	lmimlbs 21761	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
34	7, 33	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
35	32	dimval 33572	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LVec ∧ (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
37	23, 25, 36	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
38	6, 37	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ♯chash 14255  Basecbs 17138   LMHom clmhm 20941   LMIso clmim 20942  LBasisclbs 20996  LVecclvec 21024  dimcldim 33570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9421  df-r1 9679  df-rank 9680  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-mri 17508  df-acs 17509  df-proset 18218  df-drs 18219  df-poset 18237  df-ipo 18452  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lmhm 20944  df-lmim 20945  df-lbs 20997  df-lvec 21025  df-lindf 21731  df-linds 21732  df-dim 33571

This theorem is referenced by:  lmicdim  33576  algextdeglem4  33686