Theorem lmimdim 33623

Description: Module isomorphisms preserve vector space dimensions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmimdim.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
lmimdim.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lmimdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Proof of Theorem lmimdim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmimdim.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LVec)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑆) = (LBasis‘𝑆)
3	2	lbsex 21108	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ LVec → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LBasis‘𝑆) ≠ ∅)
5		n0 4302	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆))
7		lmimdim.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
9	8	resexd 5982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V)
10		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12	10, 11	lmimf1o 21003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
13		f1of1 6768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
15	10, 2	lbsss 21017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆))
17		f1ssres 6732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝑏 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇))
19		hashf1dmrn 14356	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝑏) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ 𝑏):𝑏–1-1→(Base‘𝑇)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
20	9, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏)))
21		df-ima 5632	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝑏) = ran (𝐹 ↾ 𝑏)
22	21	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐹 “ 𝑏)) = (♯‘ran (𝐹 ↾ 𝑏))
23	20, 22	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (♯‘𝑏) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
24	2	dimval 33620	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
25	1, 24	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (♯‘𝑏))
26		lmimlmhm 21004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
27	7, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
28		lmhmlvec 21050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝑆 ∈ LVec ↔ 𝑇 ∈ LVec))
29	28	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑆 ∈ LVec) → 𝑇 ∈ LVec)
30	27, 1, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LVec)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → 𝑇 ∈ LVec)
32		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑇) = (LBasis‘𝑇)
33	2, 32	lmimlbs 21779	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
34	7, 33	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇))
35	32	dimval 33620	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LVec ∧ (𝐹 “ 𝑏) ∈ (LBasis‘𝑇)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
36	31, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑏)))
37	23, 25, 36	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑆)) → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))
38	6, 37	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝑆) = (dim‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622  –1-1→wf1 6484  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ♯chash 14243  Basecbs 17126   LMHom clmhm 20959   LMIso clmim 20960  LBasisclbs 21014  LVecclvec 21042  dimcldim 33618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10360  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-oi 9402  df-r1 9663  df-rank 9664  df-dju 9800  df-card 9838  df-acn 9841  df-ac 10013  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ocomp 17188  df-0g 17351  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-mri 17496  df-acs 17497  df-proset 18206  df-drs 18207  df-poset 18225  df-ipo 18440  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lmhm 20962  df-lmim 20963  df-lbs 21015  df-lvec 21043  df-lindf 21749  df-linds 21750  df-dim 33619

This theorem is referenced by:  lmicdim  33624  algextdeglem4  33740