Theorem lmhmlmod1 21165

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21161	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 779	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Scalarcsca 17319   GrpHom cghm 19289  LModclmod 20992   LMHom clmhm 21151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-lmhm 21154

This theorem is used by:  islmhm2  21170  lmhmco  21175  lmhmplusg  21176  lmhmvsca  21177  lmhmf1o  21178  lmhmima  21179  lmhmpreima  21180  lmhmlsp  21181  lmhmrnlss  21182  reslmhm  21184  reslmhm2  21185  reslmhm2b  21186  lmhmeql  21187  lspextmo  21188  islmim  21194  lmiclcl  21202  lmhmlvec  21242  lindfmm  21988  lindsmm  21989  lmhmclm  25257  lmhmimasvsca  33367  lmhmqusker  33735  kercvrlsm  43838  lmhmfgima  43839  lmhmfgsplit  43841  lmhmlnmsplit  43842