Theorem lmhmlmod1 20637

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20633	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 767	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Scalarcsca 17197   GrpHom cghm 19084  LModclmod 20464   LMHom clmhm 20623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-lmhm 20626

This theorem is referenced by:  islmhm2  20642  lmhmco  20647  lmhmplusg  20648  lmhmvsca  20649  lmhmf1o  20650  lmhmima  20651  lmhmpreima  20652  lmhmlsp  20653  lmhmrnlss  20654  reslmhm  20656  reslmhm2  20657  reslmhm2b  20658  lmhmeql  20659  lspextmo  20660  islmim  20666  lmiclcl  20674  lmhmlvec  20713  lindfmm  21374  lindsmm  21375  lmhmclm  24595  lmhmqusker  32523  kercvrlsm  41811  lmhmfgima  41812  lmhmfgsplit  41814  lmhmlnmsplit  41815