Theorem lmhmlmod1 21107

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21103	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 777	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Scalarcsca 17299   GrpHom cghm 19263  LModclmod 20934   LMHom clmhm 21093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-lmhm 21096

This theorem is referenced by:  islmhm2  21112  lmhmco  21117  lmhmplusg  21118  lmhmvsca  21119  lmhmf1o  21120  lmhmima  21121  lmhmpreima  21122  lmhmlsp  21123  lmhmrnlss  21124  reslmhm  21126  reslmhm2  21127  reslmhm2b  21128  lmhmeql  21129  lspextmo  21130  islmim  21136  lmiclcl  21144  lmhmlvec  21184  lindfmm  21886  lindsmm  21887  lmhmclm  25156  lmhmimasvsca  33223  lmhmqusker  33606  kercvrlsm  43665  lmhmfgima  43666  lmhmfgsplit  43668  lmhmlnmsplit  43669