Theorem lmhmlmod1 20789

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20785	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 765	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Scalarcsca 17205   GrpHom cghm 19128  LModclmod 20615   LMHom clmhm 20775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-lmhm 20778

This theorem is referenced by:  islmhm2  20794  lmhmco  20799  lmhmplusg  20800  lmhmvsca  20801  lmhmf1o  20802  lmhmima  20803  lmhmpreima  20804  lmhmlsp  20805  lmhmrnlss  20806  reslmhm  20808  reslmhm2  20809  reslmhm2b  20810  lmhmeql  20811  lspextmo  20812  islmim  20818  lmiclcl  20826  lmhmlvec  20866  lindfmm  21602  lindsmm  21603  lmhmclm  24835  lmhmimasvsca  32468  lmhmqusker  32809  kercvrlsm  42128  lmhmfgima  42129  lmhmfgsplit  42131  lmhmlnmsplit  42132