Theorem lmhmlmod1 21017

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21013	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Scalarcsca 17212   GrpHom cghm 19176  LModclmod 20844   LMHom clmhm 21003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-lmhm 21006

This theorem is referenced by:  islmhm2  21022  lmhmco  21027  lmhmplusg  21028  lmhmvsca  21029  lmhmf1o  21030  lmhmima  21031  lmhmpreima  21032  lmhmlsp  21033  lmhmrnlss  21034  reslmhm  21036  reslmhm2  21037  reslmhm2b  21038  lmhmeql  21039  lspextmo  21040  islmim  21046  lmiclcl  21054  lmhmlvec  21094  lindfmm  21796  lindsmm  21797  lmhmclm  25042  lmhmimasvsca  33087  lmhmqusker  33465  kercvrlsm  43499  lmhmfgima  43500  lmhmfgsplit  43502  lmhmlnmsplit  43503