Theorem lmhmlmod1 21018

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21014	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Scalarcsca 17212   GrpHom cghm 19176  LModclmod 20844   LMHom clmhm 21004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-lmhm 21007

This theorem is referenced by:  islmhm2  21023  lmhmco  21028  lmhmplusg  21029  lmhmvsca  21030  lmhmf1o  21031  lmhmima  21032  lmhmpreima  21033  lmhmlsp  21034  lmhmrnlss  21035  reslmhm  21037  reslmhm2  21038  reslmhm2b  21039  lmhmeql  21040  lspextmo  21041  islmim  21047  lmiclcl  21055  lmhmlvec  21095  lindfmm  21815  lindsmm  21816  lmhmclm  25063  lmhmimasvsca  33119  lmhmqusker  33497  kercvrlsm  43526  lmhmfgima  43527  lmhmfgsplit  43529  lmhmlnmsplit  43530