Theorem lmhmlmod1 20989

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20985	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Scalarcsca 17184   GrpHom cghm 19145  LModclmod 20815   LMHom clmhm 20975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-lmhm 20978

This theorem is referenced by:  islmhm2  20994  lmhmco  20999  lmhmplusg  21000  lmhmvsca  21001  lmhmf1o  21002  lmhmima  21003  lmhmpreima  21004  lmhmlsp  21005  lmhmrnlss  21006  reslmhm  21008  reslmhm2  21009  reslmhm2b  21010  lmhmeql  21011  lspextmo  21012  islmim  21018  lmiclcl  21026  lmhmlvec  21066  lindfmm  21786  lindsmm  21787  lmhmclm  25047  lmhmimasvsca  33102  lmhmqusker  33479  kercvrlsm  43361  lmhmfgima  43362  lmhmfgsplit  43364  lmhmlnmsplit  43365