Theorem lmhmlmod1 21133

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21129	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 779	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Scalarcsca 17312   GrpHom cghm 19282  LModclmod 20960   LMHom clmhm 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-lmhm 21122

This theorem is referenced by:  islmhm2  21138  lmhmco  21143  lmhmplusg  21144  lmhmvsca  21145  lmhmf1o  21146  lmhmima  21147  lmhmpreima  21148  lmhmlsp  21149  lmhmrnlss  21150  reslmhm  21152  reslmhm2  21153  reslmhm2b  21154  lmhmeql  21155  lspextmo  21156  islmim  21162  lmiclcl  21170  lmhmlvec  21210  lindfmm  21956  lindsmm  21957  lmhmclm  25225  lmhmimasvsca  33324  lmhmqusker  33692  kercvrlsm  43780  lmhmfgima  43781  lmhmfgsplit  43783  lmhmlnmsplit  43784