Theorem lmhmlmod1 21069

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21065	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 775	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Scalarcsca 17261   GrpHom cghm 19225  LModclmod 20896   LMHom clmhm 21055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-lmhm 21058

This theorem is referenced by:  islmhm2  21074  lmhmco  21079  lmhmplusg  21080  lmhmvsca  21081  lmhmf1o  21082  lmhmima  21083  lmhmpreima  21084  lmhmlsp  21085  lmhmrnlss  21086  reslmhm  21088  reslmhm2  21089  reslmhm2b  21090  lmhmeql  21091  lspextmo  21092  islmim  21098  lmiclcl  21106  lmhmlvec  21146  lindfmm  21848  lindsmm  21849  lmhmclm  25118  lmhmimasvsca  33167  lmhmqusker  33549  kercvrlsm  43598  lmhmfgima  43599  lmhmfgsplit  43601  lmhmlnmsplit  43602