Theorem lmhmlmod1 21270

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21266	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 780	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Scalarcsca 17393   GrpHom cghm 19389  LModclmod 21097   LMHom clmhm 21256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-lmhm 21259

This theorem is used by:  islmhm2  21275  lmhmco  21280  lmhmplusg  21281  lmhmvsca  21282  lmhmf1o  21283  lmhmima  21284  lmhmpreima  21285  lmhmlsp  21286  lmhmrnlss  21287  reslmhm  21289  reslmhm2  21290  reslmhm2b  21291  lmhmeql  21292  lspextmo  21293  islmim  21299  lmiclcl  21307  lmhmlvec  21347  lindfmm  22095  lindsmm  22096  lmhmclm  25370  lmhmimasvsca  33533  lmhmqusker  33902  kercvrlsm  44028  lmhmfgima  44029  lmhmfgsplit  44031  lmhmlnmsplit  44032