Theorem lmhmlmod1 21028

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21024	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Scalarcsca 17223   GrpHom cghm 19187  LModclmod 20855   LMHom clmhm 21014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-lmhm 21017

This theorem is referenced by:  islmhm2  21033  lmhmco  21038  lmhmplusg  21039  lmhmvsca  21040  lmhmf1o  21041  lmhmima  21042  lmhmpreima  21043  lmhmlsp  21044  lmhmrnlss  21045  reslmhm  21047  reslmhm2  21048  reslmhm2b  21049  lmhmeql  21050  lspextmo  21051  islmim  21057  lmiclcl  21065  lmhmlvec  21105  lindfmm  21807  lindsmm  21808  lmhmclm  25054  lmhmimasvsca  33099  lmhmqusker  33477  kercvrlsm  43511  lmhmfgima  43512  lmhmfgsplit  43514  lmhmlnmsplit  43515