MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlmod1 19246
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2771 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 19242 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
43simplld 751 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  Scalarcsca 16152   GrpHom cghm 17865  LModclmod 19073   LMHom clmhm 19232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-lmhm 19235
This theorem is referenced by:  islmhm2  19251  lmhmco  19256  lmhmplusg  19257  lmhmvsca  19258  lmhmf1o  19259  lmhmima  19260  lmhmpreima  19261  lmhmlsp  19262  lmhmrnlss  19263  reslmhm  19265  reslmhm2  19266  reslmhm2b  19267  lmhmeql  19268  lspextmo  19269  islmim  19275  lmiclcl  19283  lindfmm  20383  lindsmm  20384  lmhmclm  23106  kercvrlsm  38177  lmhmfgima  38178  lmhmfgsplit  38180  lmhmlnmsplit  38181
  Copyright terms: Public domain W3C validator