Theorem lmhmlmod1 21221

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21217	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 780	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Scalarcsca 17349   GrpHom cghm 19344  LModclmod 21048   LMHom clmhm 21207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-lmhm 21210

This theorem is used by:  islmhm2  21226  lmhmco  21231  lmhmplusg  21232  lmhmvsca  21233  lmhmf1o  21234  lmhmima  21235  lmhmpreima  21236  lmhmlsp  21237  lmhmrnlss  21238  reslmhm  21240  reslmhm2  21241  reslmhm2b  21242  lmhmeql  21243  lspextmo  21244  islmim  21250  lmiclcl  21258  lmhmlvec  21298  lindfmm  22044  lindsmm  22045  lmhmclm  25319  lmhmimasvsca  33480  lmhmqusker  33848  kercvrlsm  43926  lmhmfgima  43927  lmhmfgsplit  43929  lmhmlnmsplit  43930