Theorem lmhmlmod1 20649

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20645	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 766	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Scalarcsca 17202   GrpHom cghm 19091  LModclmod 20475   LMHom clmhm 20635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-lmhm 20638

This theorem is referenced by:  islmhm2  20654  lmhmco  20659  lmhmplusg  20660  lmhmvsca  20661  lmhmf1o  20662  lmhmima  20663  lmhmpreima  20664  lmhmlsp  20665  lmhmrnlss  20666  reslmhm  20668  reslmhm2  20669  reslmhm2b  20670  lmhmeql  20671  lspextmo  20672  islmim  20678  lmiclcl  20686  lmhmlvec  20726  lindfmm  21388  lindsmm  21389  lmhmclm  24610  lmhmimasvsca  32238  lmhmqusker  32579  kercvrlsm  41907  lmhmfgima  41908  lmhmfgsplit  41910  lmhmlnmsplit  41911