Theorem lmhmlmod1 21338

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21334	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplld 780	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Scalarcsca 17460   GrpHom cghm 19456  LModclmod 21165   LMHom clmhm 21324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-lmhm 21327

This theorem is used by:  islmhm2  21343  lmhmco  21348  lmhmplusg  21349  lmhmvsca  21350  lmhmf1o  21351  lmhmima  21352  lmhmpreima  21353  lmhmlsp  21354  lmhmrnlss  21355  reslmhm  21357  reslmhm2  21358  reslmhm2b  21359  lmhmeql  21360  lspextmo  21361  islmim  21367  lmiclcl  21375  lmhmlvec  21415  lindfmm  22163  lindsmm  22164  lmhmclm  25438  lmhmimasvsca  33669  lmhmqusker  34038  kercvrlsm  44278  lmhmfgima  44279  lmhmfgsplit  44281  lmhmlnmsplit  44282