Theorem lo1f 15471

Description: An eventually upper bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1f	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem lo1f

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15468	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11120	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8812	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_pm cpm 8764  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  ≤𝑂(1)clo1 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-pm 8766  df-lo1 15444

This theorem is referenced by:  lo1res  15512  lo1mptrcl  15575