Theorem lo1f 15227

Description: An eventually upper bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1f	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem lo1f

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15224	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 10962	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8662	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  ≤𝑂(1)clo1 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pm 8618  df-lo1 15200

This theorem is referenced by:  lo1res  15268  lo1mptrcl  15331