Theorem lo1f 15488

Description: An eventually upper bounded function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1f	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Proof of Theorem lo1f

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15485	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11223	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8886	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_pm cpm 8839  ℝcr 11131  +∞cpnf 11269   ≤ cle 11273  [,)cico 13352  ≤𝑂(1)clo1 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-pm 8841  df-lo1 15461

This theorem is referenced by:  lo1res  15529  lo1mptrcl  15592