Theorem lo1dm 15560

Description: An eventually upper bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1dm	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem lo1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15556	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11179	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8860	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	2, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  ℝcr 11087  +∞cpnf 11228   ≤ cle 11232  [,)cico 13365  ≤𝑂(1)clo1 15528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-pm 8815  df-lo1 15532

This theorem is referenced by:  lo1bdd  15561  lo1o1  15573  o1lo1  15578  o1lo12  15579  lo1res  15600  lo1eq  15609  lo1add  15668  lo1mul  15669  lo1le  15693