MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1dm 15446
Description: An eventually upper bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1dm (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem lo1dm
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ello1 15442 . . 3 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
21simplbi 497 . 2 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3 reex 11121 . . . 4 ℝ ∈ V
43, 3elpm2 8816 . . 3 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
54simprbi 496 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
62, 5syl 17 1 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  wral 3052  wrex 3061  cin 3901  wss 3902   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7360  pm cpm 8768  cr 11029  +∞cpnf 11167  cle 11171  [,)cico 13267  ≤𝑂(1)clo1 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-pm 8770  df-lo1 15418
This theorem is referenced by:  lo1bdd  15447  lo1o1  15459  o1lo1  15464  o1lo12  15465  lo1res  15486  lo1eq  15495  lo1add  15554  lo1mul  15555  lo1le  15579
  Copyright terms: Public domain W3C validator