Theorem lo1dm 15460

Description: An eventually upper bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1dm	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem lo1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15456	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11197	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8864	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_pm cpm 8817  ℝcr 11105  +∞cpnf 11242   ≤ cle 11246  [,)cico 13323  ≤𝑂(1)clo1 15428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-pm 8819  df-lo1 15432

This theorem is referenced by:  lo1bdd  15461  lo1o1  15473  o1lo1  15478  o1lo12  15479  lo1res  15500  lo1eq  15509  lo1add  15568  lo1mul  15569  lo1le  15595