Theorem lo1dm 15463

Description: An eventually upper bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1dm	⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem lo1dm

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1 15459	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
3		reex 11138	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4	3, 3	elpm2 8825	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5	4	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	2, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370   ↑_pm cpm 8778  ℝcr 11046  +∞cpnf 11184   ≤ cle 11188  [,)cico 13287  ≤𝑂(1)clo1 15431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-pm 8780  df-lo1 15435

This theorem is referenced by:  lo1bdd  15464  lo1o1  15476  o1lo1  15481  o1lo12  15482  lo1res  15503  lo1eq  15512  lo1add  15571  lo1mul  15572  lo1le  15596