MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1res 15450
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 15409 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2 lo1bdd 15411 . . . 4 ((𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
31, 2mpdan 686 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
4 inss1 4192 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
5 ssralv 4014 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elinel2 4160 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
87fvresd 6866 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
98breq1d 5119 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
109imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
1110ralbiia 3091 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
126, 11sylibr 233 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1312reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1413reximi 3084 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
153, 14syl 17 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
16 fssres 6712 . . . . 5 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
171, 4, 16sylancl 587 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
18 resres 5954 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
19 ffn 6672 . . . . . . . 8 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
20 fnresdm 6624 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
2221reseq1d 5940 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2318, 22eqtr3id 2787 . . . . 5 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2423feq1d 6657 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„))
2517, 24mpbid 231 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
26 lo1dm 15410 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
274, 26sstrid 3959 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ)
28 ello12 15407 . . 3 (((𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2925, 27, 28syl2anc 585 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
3015, 29mpbird 257 1 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„cr 11058   ≀ cle 11198  β‰€π‘‚(1)clo1 15378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ico 13279  df-lo1 15382
This theorem is referenced by:  o1res  15451  lo1res2  15453  lo1resb  15455
  Copyright terms: Public domain W3C validator