MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1res 15502
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 15461 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2 lo1bdd 15463 . . . 4 ((𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
31, 2mpdan 685 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
4 inss1 4228 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
5 ssralv 4050 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elinel2 4196 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
87fvresd 6911 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
98breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
109imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
1110ralbiia 3091 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
126, 11sylibr 233 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1312reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1413reximi 3084 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
153, 14syl 17 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
16 fssres 6757 . . . . 5 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
171, 4, 16sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
18 resres 5994 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
19 ffn 6717 . . . . . . . 8 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
20 fnresdm 6669 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
2221reseq1d 5980 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2318, 22eqtr3id 2786 . . . . 5 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2423feq1d 6702 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„))
2517, 24mpbid 231 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
26 lo1dm 15462 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
274, 26sstrid 3993 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ)
28 ello12 15459 . . 3 (((𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2925, 27, 28syl2anc 584 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
3015, 29mpbird 256 1 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11108   ≀ cle 11248  β‰€π‘‚(1)clo1 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329  df-lo1 15434
This theorem is referenced by:  o1res  15503  lo1res2  15505  lo1resb  15507
  Copyright terms: Public domain W3C validator