MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1res 15503
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 15462 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2 lo1bdd 15464 . . . 4 ((𝐹 ∈ ≀𝑂(1) ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
31, 2mpdan 686 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
4 inss1 4229 . . . . . . 7 (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹
5 ssralv 4051 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
7 elinel2 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
87fvresd 6912 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
98breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
109imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
1110ralbiia 3092 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š))
126, 11sylibr 233 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1312reximi 3085 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
1413reximi 3085 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ≀ π‘š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
153, 14syl 17 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š))
16 fssres 6758 . . . . 5 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
171, 4, 16sylancl 587 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
18 resres 5995 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴))
19 ffn 6718 . . . . . . . 8 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
20 fnresdm 6670 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ dom 𝐹) = 𝐹)
2221reseq1d 5981 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ dom 𝐹) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2318, 22eqtr3id 2787 . . . . 5 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
2423feq1d 6703 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„))
2517, 24mpbid 231 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„)
26 lo1dm 15463 . . . 4 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ dom 𝐹 βŠ† ℝ)
274, 26sstrid 3994 . . 3 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ)
28 ello12 15460 . . 3 (((𝐹 β†Ύ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)βŸΆβ„ ∧ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
2925, 27, 28syl2anc 585 . 2 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘š ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) ≀ π‘š)))
3015, 29mpbird 257 1 (𝐹 ∈ ≀𝑂(1) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ≀𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109   ≀ cle 11249  β‰€π‘‚(1)clo1 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-lo1 15435
This theorem is referenced by:  o1res  15504  lo1res2  15506  lo1resb  15508
  Copyright terms: Public domain W3C validator