Theorem ello12r 15545

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ello12r	⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Proof of Theorem ello12r

Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝐶 ≤ 𝑥))
2	1	imbi1d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚)))
3	2	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚)))
4		breq2 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀))
5	4	imbi2d 342	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)))
6	5	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)))
7	3, 6	rspc2ev 3595	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
8	7	3expa 1132	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
9	8	3adant1 1144	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
10		ello12 15544	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚)))
11	10	3ad2ant1 1147	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚)))
12	9, 11	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐶 ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  ℝcr 11073   ≤ cle 11218  ≤𝑂(1)clo1 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-ico 13356  df-lo1 15519

This theorem is referenced by:  lo1resb  15592