MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2 8134
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1 𝐴 ∈ V
elmap.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elpm2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpm2
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 elmap.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 elpm2g 8119 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
41, 2, 3mp2an 675 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wcel 2157  Vcvv 3402  wss 3780  dom cdm 5324  wf 6107  (class class class)co 6884  pm cpm 8103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-pm 8105
This theorem is referenced by:  rlimf  14475  rlimss  14476  lo1f  14492  lo1dm  14493  o1f  14503  o1dm  14504  coapm  16945  pmltpclem2  23453  mbff  23629  limcrcl  23875  dvnres  23931  c1liplem1  23996  c1lip2  23998  ulmf2  24375  elbigof  42934  elbigodm  42935  elbigoimp  42936
  Copyright terms: Public domain W3C validator