Theorem elpm2 8808

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elpm2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem elpm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elmap.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		elpm2g 8777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  dom cdm 5621  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355   ↑_pm cpm 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-pm 8762

This theorem is referenced by:  rlimf  15415  rlimss  15416  lo1f  15432  lo1dm  15433  o1f  15443  o1dm  15444  coapm  17986  pmltpclem2  25397  mbff  25573  limcrcl  25822  dvnres  25880  c1liplem1  25948  c1lip2  25950  ulmf2  26340  elbigof  48716  elbigodm  48717  elbigoimp  48718