MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2 8892
Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1 𝐴 ∈ V
elmap.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elpm2 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))

Proof of Theorem elpm2
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 elmap.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 elpm2g 8862 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
41, 2, 3mp2an 691 1 (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2099  Vcvv 3471  wss 3947  dom cdm 5678  wf 6544  (class class class)co 7420  pm cpm 8845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-pm 8847
This theorem is referenced by:  rlimf  15477  rlimss  15478  lo1f  15494  lo1dm  15495  o1f  15505  o1dm  15506  coapm  18059  pmltpclem2  25377  mbff  25553  limcrcl  25802  dvnres  25860  c1liplem1  25928  c1lip2  25930  ulmf2  26319  elbigof  47627  elbigodm  47628  elbigoimp  47629
  Copyright terms: Public domain W3C validator