MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1mptrcl 15598
Description: Reverse closure for an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lo1mptrcl.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
lo1mptrcl ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem lo1mptrcl
StepHypRef Expression
1 lo1mptrcl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1))
2 lo1f 15494 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ ≀𝑂(1) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„)
4 o1add2.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
54ralrimiva 3136 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉)
6 dmmptg 6241 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
87feq2d 6703 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„))
93, 8mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
109fvmptelcdm 7118 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β„cr 11137  β‰€π‘‚(1)clo1 15463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-pm 8846  df-lo1 15467
This theorem is referenced by:  lo1add  15603  lo1mul  15604  lo1mul2  15605  lo1sub  15607  lo1le  15630
  Copyright terms: Public domain W3C validator