Theorem mapprop 45570

Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapprop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapprop	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapprop.f	. 2 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
2		simp3r 1200	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	3, 4, 5	3anim123i 1149	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ 𝑅)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝑅)
9	7, 8	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
10	9	3adant3 1130	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
11		fprmappr 45569	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))
12	2, 6, 10, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))
13	1, 12	eqeltrid 2843	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {cpr 4560  ⟨cop 4564  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575

This theorem is referenced by:  lincvalpr  45647  ldepspr  45702