Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapprop 42697
Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mapprop.f 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
mapprop (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop
StepHypRef Expression
1 simpl 470 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝑋𝑉)
2 simpl 470 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝑌𝑉)
31, 2anim12i 602 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
433adant3 1155 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝐴𝑅) → 𝐴𝑅)
6 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝑌𝑉𝐵𝑅) → 𝐵𝑅)
75, 6anim12i 602 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
873adant3 1155 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐴𝑅𝐵𝑅))
9 simpl 470 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑋𝑌)
1093ad2ant3 1158 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑋𝑌)
11 fprg 6653 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑅) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
124, 8, 10, 11syl3anc 1483 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
13 mapprop.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
1413feq1i 6254 . . . 4 (𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
1512, 14sylibr 225 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶{𝐴, 𝐵})
16 prssi 4553 . . . . 5 ((𝐴𝑅𝐵𝑅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
177, 16syl 17 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
18173adant3 1155 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑅)
1915, 18fssd 6277 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅)
20 simpr 473 . . . 4 ((𝑋𝑌𝑅𝑊) → 𝑅𝑊)
21203ad2ant3 1158 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝑅𝑊)
22 prex 5110 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ V
23 elmapg 8112 . . 3 ((𝑅𝑊 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2421, 22, 23sylancl 576 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}) ↔ 𝐹:{𝑋, 𝑌}⟶𝑅))
2519, 24mpbird 248 1 (((𝑋𝑉𝐴𝑅) ∧ (𝑌𝑉𝐵𝑅) ∧ (𝑋𝑌𝑅𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 {𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  wss 3780  {cpr 4383  cop 4387  wf 6104  (class class class)co 6881  𝑚 cmap 8099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-id 5230  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-fv 6116  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-map 8101
This theorem is referenced by:  lincvalpr  42780  ldepspr  42835
  Copyright terms: Public domain W3C validator