Theorem mapprop 48965

Description: An unordered pair containing two ordered pairs as an element of the mapping operation. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapprop.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
mapprop	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem mapprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapprop.f	. 2 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩}
2		simp3r 1216	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	3, 4, 5	3anim123i 1164	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
7		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ 𝑅)
8		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → 𝐵 ∈ 𝑅)
9	7, 8	anim12i 622	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
10	9	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅))
11		fprmappr 48964	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))
12	2, 6, 10, 11	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → {⟨𝑋, 𝐴⟩, ⟨𝑌, 𝐵⟩} ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))
13	1, 12	eqeltrid 2866	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊)) → 𝐹 ∈ (𝑅 ↑m {𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {cpr 4584  ⟨cop 4588  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810

This theorem is referenced by:  lincvalpr  49037  ldepspr  49092