Theorem ldepspr 45430

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
2	1	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		fvex 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
4		fvex 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7		simp3 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ 𝑌)
9		fprg 6948	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
11		prfi 8924	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	13	fvexi 6709	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
16	10, 12, 15	fdmfifsupp 8973	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
17	7	anim2i 620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
19		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
21		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	19, 20, 21	lmod1cl 19880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
23		simp1 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	22, 23	anim12ci 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
25	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
26		simp2 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	19	lmodfgrp 19862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
30		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
32	20, 31	grpinvcl 18369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
34		snlindsntor.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
35		snlindsntor.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}
38	34, 19, 20, 35, 36, 37	lincvalpr 45375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
39	18, 25, 27, 33, 38	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
40		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
41	23	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	30	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
43	41, 27, 42	3jca 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
44	40, 43	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)))
45		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
46		snlindsntor.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
47	34, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31	ldepsprlem 45429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
48	44, 45, 47	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
49	39, 48	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
50	19	lmodring 19861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
53	20, 52, 21	01eq0ring 20264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
54		sneq 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = {(1r‘𝑅)})
55	54	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r‘𝑅)}))
56		eleq2 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)}))
57		elsni 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → 𝐴 = (1r‘𝑅))
58		oveq1 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
59	58	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌)))
60	26	anim1i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
61	60	ancomd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
62	34, 19, 35, 21	lmodvs1 19881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
64	63	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
65		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
67	66	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68	67	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
69	64, 68	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
70	69	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
72	59, 71	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
73	57, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
74	56, 73	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
75	74	impd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
77	55, 76	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
78	77	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
79	53, 78	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
80	79	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
81	51, 80	syl5bi 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
82	81	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
83	50, 82	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
84	83	imp31 421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
85		orc 867	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
86	84, 85	pm2.61d1 183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
87	13	eqeq2i 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
88	87	necon3abii 2978	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
89	88	orbi1i 914	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
90	86, 89	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
91		fvexd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
92		fvpr1g 6985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
93	41, 91, 8, 92	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
94	93	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
95		fvexd 6710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
96		fvpr2g 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
97	27, 95, 8, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
98	97	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
99	94, 98	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
100	90, 99	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
101		fveq2 6695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
102	101	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
103		fveq2 6695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
104	103	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
105	102, 104	rexprg 4598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
106	2, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
107	100, 106	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
108	22	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
109	108	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
110	20	fvexi 6709	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
111	8, 110	jctir 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V))
112	37	mapprop 45298	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
113	41, 109, 27, 33, 111, 112	syl221anc 1383	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
114		breq1 5042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
115		oveq1 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
116	115	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
117		fveq1 6694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
118	117	neeq1d 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
119	118	rexbidv 3206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
120	114, 116, 119	3anbi123d 1438	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
121	120	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
122	113, 121	rspcedv 3520	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
123	16, 49, 107, 122	mp3and 1466	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ))
124		prelpwi 5317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
125	124	3adant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
126	125	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
127	34, 46, 19, 20, 13	islindeps 45410	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
128	40, 126, 127	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
129	123, 128	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
130	129	ex 416	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4499  {csn 4527  {cpr 4529  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↑_m cmap 8486  Fincfn 8604   finSupp cfsupp 8963  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  0_gc0g 16898  Grpcgrp 18319  inv_gcminusg 18320  1_rcur 19470  Ringcrg 19516  LModclmod 19853   linC clinc 45361   linDepS clindeps 45398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-lmod 19855  df-linc 45363  df-lininds 45399  df-lindeps 45401

This theorem is referenced by: (None)