Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldepspr 47202
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
snlindsntor.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
snlindsntor.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
snlindsntor.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
snlindsntor.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
ldepspr ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ {𝑋, π‘Œ} linDepS 𝑀))
Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
21ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
3 fvex 6905 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
4 fvex 6905 . . . . . . . 8 ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V
53, 4pm3.2i 472 . . . . . . 7 ((1rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V)
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V))
7 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
87ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
9 fprg 7153 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}:{𝑋, π‘Œ}⟢{(1rβ€˜π‘…), ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)})
102, 6, 8, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}:{𝑋, π‘Œ}⟢{(1rβ€˜π‘…), ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)})
11 prfi 9322 . . . . . 6 {𝑋, π‘Œ} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ Fin)
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
1413fvexi 6906 . . . . . 6 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 0 ∈ V)
1610, 12, 15fdmfifsupp 9373 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} finSupp 0 )
177anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
1817adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
19 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
20 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
2219, 20, 21lmod1cl 20499 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
23 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2422, 23anim12ci 615 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆))
2524adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆))
26 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2726ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2819lmodfgrp 20480 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
30 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
3220, 31grpinvcl 18872 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ 𝑆)
3329, 30, 32syl2an 597 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ 𝑆)
34 snlindsntor.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
35 snlindsntor.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
37 eqid 2733 . . . . . . 7 {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}
3834, 19, 20, 35, 36, 37lincvalpr 47147 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ 𝑆)) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = (((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3918, 25, 27, 33, 38syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = (((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
40 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
4123ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4230adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
4341, 27, 423jca 1129 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4440, 43jca 513 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)))
45 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))
46 snlindsntor.z . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
4734, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31ldepsprlem 47201 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
4844, 45, 47sylc 65 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4939, 48eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍)
5019lmodring 20479 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…))
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5320, 52, 2101eq0ring 20305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 = {(0gβ€˜π‘…)})
54 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(1rβ€˜π‘…)})
5554eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 = {(0gβ€˜π‘…)} ↔ 𝑆 = {(1rβ€˜π‘…)}))
56 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 = {(1rβ€˜π‘…)} β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {(1rβ€˜π‘…)}))
57 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ {(1rβ€˜π‘…)} β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘…))
58 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
5958eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ)))
6026anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
6160ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
6234, 19, 35, 21lmodvs1 20500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
6463eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑋 = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
65 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
67663ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
6964, 68sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ (𝑋 = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
7069ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑋 = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))
7170com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))
7259, 71syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
7357, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ {(1rβ€˜π‘…)} β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
7456, 73syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = {(1rβ€˜π‘…)} β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
7574impd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = {(1rβ€˜π‘…)} β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = {(1rβ€˜π‘…)} β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
7755, 76syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑆 = {(0gβ€˜π‘…)} β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
7877adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 = {(0gβ€˜π‘…)} β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
7953, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
8079ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
8151, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
8281com25 99 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ LMod β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))))))
8350, 82mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))))
8483imp31 419 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
85 orc 866 . . . . . . . 8 (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))
8684, 85pm2.61d1 180 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))
8713eqeq2i 2746 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜π‘…) = 0 ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
8887necon3abii 2988 . . . . . . . 8 ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
8988orbi1i 913 . . . . . . 7 (((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ) ↔ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))
9086, 89sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))
91 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ V)
92 fvpr1g 7188 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) = (1rβ€˜π‘…))
9341, 91, 8, 92syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) = (1rβ€˜π‘…))
9493neeq1d 3001 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ↔ (1rβ€˜π‘…) β‰  0 ))
95 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V)
96 fvpr2g 7189 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄))
9727, 95, 8, 96syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄))
9897neeq1d 3001 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 ↔ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 ))
9994, 98orbi12d 918 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ((({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ∨ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 ) ↔ ((1rβ€˜π‘…) β‰  0 ∨ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) β‰  0 )))
10090, 99mpbird 257 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ∨ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 ))
101 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) = ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹))
102101neeq1d 3001 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ))
103 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑣 = π‘Œ β†’ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) = ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ))
104103neeq1d 3001 . . . . . . 7 (𝑣 = π‘Œ β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 ))
105102, 104rexprg 4701 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ↔ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ∨ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 )))
1062, 105syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ↔ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘‹) β‰  0 ∨ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘Œ) β‰  0 )))
107100, 106mpbird 257 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 )
10822adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
109108adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆)
11020fvexi 6906 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
1118, 110jctir 522 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑆 ∈ V))
11237mapprop 47070 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑆) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑆 ∈ V)) β†’ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ}))
11341, 109, 27, 33, 111, 112syl221anc 1382 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ}))
114 breq1 5152 . . . . . . 7 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ (𝑓 finSupp 0 ↔ {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} finSupp 0 ))
115 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}))
116115eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍))
117 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ (π‘“β€˜π‘£) = ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£))
118117neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ ((π‘“β€˜π‘£) β‰  0 ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ))
119118rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ))
120114, 116, 1193anbi123d 1437 . . . . . 6 (𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 ) ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} finSupp 0 ∧ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 )))
121120adantl 483 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) ∧ 𝑓 = {βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 ) ↔ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} finSupp 0 ∧ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 )))
122113, 121rspcedv 3606 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ (({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} finSupp 0 ∧ ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩} ( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} ({βŸ¨π‘‹, (1rβ€˜π‘…)⟩, βŸ¨π‘Œ, ((invgβ€˜π‘…)β€˜π΄)⟩}β€˜π‘£) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 )))
12316, 49, 107, 122mp3and 1465 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 ))
124 prelpwi 5448 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝒫 𝐡)
1251243adant3 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝒫 𝐡)
126125ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝒫 𝐡)
12734, 46, 19, 20, 13islindeps 47182 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ({𝑋, π‘Œ} linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 )))
12840, 126, 127syl2anc 585 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ ({𝑋, π‘Œ} linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, π‘Œ})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€){𝑋, π‘Œ}) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ {𝑋, π‘Œ} (π‘“β€˜π‘£) β‰  0 )))
129123, 128mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ))) β†’ {𝑋, π‘Œ} linDepS 𝑀)
130129ex 414 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ {𝑋, π‘Œ} linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  π’« cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  1rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471   linC clinc 47133   linDepS clindeps 47170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-linc 47135  df-lininds 47171  df-lindeps 47173
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator