Theorem ldepspr 48719

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
2	1	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
4		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ 𝑌)
9		fprg 7100	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
11		prfi 9224	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	13	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
16	10, 12, 15	fdmfifsupp 9278	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
17	7	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
19		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
21		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	19, 20, 21	lmod1cl 20840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
23		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	22, 23	anim12ci 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
26		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	19	lmodfgrp 20820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
32	20, 31	grpinvcl 18917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
34		snlindsntor.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
35		snlindsntor.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}
38	34, 19, 20, 35, 36, 37	lincvalpr 48664	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
39	18, 25, 27, 33, 38	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
40		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
41	23	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
43	41, 27, 42	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
44	40, 43	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)))
45		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
46		snlindsntor.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
47	34, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31	ldepsprlem 48718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
48	44, 45, 47	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
49	39, 48	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
50	19	lmodring 20819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
53	20, 52, 21	01eq0ring 20463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
54		sneq 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = {(1r‘𝑅)})
55	54	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r‘𝑅)}))
56		eleq2 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)}))
57		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → 𝐴 = (1r‘𝑅))
58		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
59	58	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌)))
60	26	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
61	60	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
62	34, 19, 35, 21	lmodvs1 20841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
64	63	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
65		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
67	66	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
69	64, 68	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
72	59, 71	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
73	57, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
74	56, 73	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
75	74	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
77	55, 76	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
79	53, 78	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
81	51, 80	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
82	81	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
83	50, 82	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
84	83	imp31 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
85		orc 867	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
86	84, 85	pm2.61d1 180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
87	13	eqeq2i 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
88	87	necon3abii 2978	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
89	88	orbi1i 913	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
90	86, 89	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
91		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
92		fvpr1g 7136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
93	41, 91, 8, 92	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
94	93	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
95		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
96		fvpr2g 7137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
97	27, 95, 8, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
98	97	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
99	94, 98	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
100	90, 99	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
101		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
102	101	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
103		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
104	103	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
105	102, 104	rexprg 4654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
106	2, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
107	100, 106	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
108	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
109	108	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
110	20	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
111	8, 110	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V))
112	37	mapprop 48592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
113	41, 109, 27, 33, 111, 112	syl221anc 1383	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
114		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
115		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
116	115	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
117		fveq1 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
118	117	neeq1d 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
119	118	rexbidv 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
120	114, 116, 119	3anbi123d 1438	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
121	120	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
122	113, 121	rspcedv 3569	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
123	16, 49, 107, 122	mp3and 1466	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ))
124		prelpwi 5395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
125	124	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
126	125	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
127	34, 46, 19, 20, 13	islindeps 48699	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
128	40, 126, 127	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
129	123, 128	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
130	129	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  LModclmod 20811   linC clinc 48650   linDepS clindeps 48687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-linc 48652  df-lininds 48688  df-lindeps 48690

This theorem is referenced by: (None)