Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepspr 44880
 Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
ldepspr ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1145 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
21ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
3 fvex 6658 . . . . . . . 8 (1r𝑅) ∈ V
4 fvex 6658 . . . . . . . 8 ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V
53, 4pm3.2i 474 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
87ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 fprg 6894 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
102, 6, 8, 9syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
11 prfi 8777 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
1413fvexi 6659 . . . . . 6 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
1610, 12, 15fdmfifsupp 8827 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
177anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
1817adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
19 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
21 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2219, 20, 21lmod1cl 19654 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
23 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝐵)
2422, 23anim12ci 616 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
2524adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
26 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑌𝐵)
2726ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
2819lmodfgrp 19636 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
30 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴𝑆)
31 eqid 2798 . . . . . . . 8 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3220, 31grpinvcl 18143 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
3329, 30, 32syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
34 snlindsntor.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
35 snlindsntor.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
36 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
37 eqid 2798 . . . . . . 7 {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}
3834, 19, 20, 35, 36, 37lincvalpr 44825 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
3918, 25, 27, 33, 38syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
40 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
4123ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
4230adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴𝑆)
4341, 27, 423jca 1125 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆))
4440, 43jca 515 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)))
45 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
46 snlindsntor.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
4734, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31ldepsprlem 44879 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
4844, 45, 47sylc 65 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4939, 48eqtrd 2833 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
5019lmodring 19635 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51 eqcom 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((1r𝑅) = (0g𝑅) ↔ (0g𝑅) = (1r𝑅))
52 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5320, 52, 2101eq0ring 20038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → 𝑆 = {(0g𝑅)})
54 sneq 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → {(0g𝑅)} = {(1r𝑅)})
5554eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r𝑅)}))
56 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆𝐴 ∈ {(1r𝑅)}))
57 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → 𝐴 = (1r𝑅))
58 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
5958eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌)))
6026anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌𝐵𝑀 ∈ LMod))
6160ancomd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
6234, 19, 35, 21lmodvs1 19655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6463eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
65 eqneqall 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
67663ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6867adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6964, 68sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
7069ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7170com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7259, 71syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7357, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7456, 73syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7574impd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7755, 76syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7877adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7953, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8079ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) = (1r𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8151, 80syl5bi 245 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8281com25 99 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8350, 82mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8483imp31 421 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
85 orc 864 . . . . . . . 8 (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8684, 85pm2.61d1 183 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8713eqeq2i 2811 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = 0 ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅))
8887necon3abii 3033 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r𝑅) = (0g𝑅))
8988orbi1i 911 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
9086, 89sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
91 fvexd 6660 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ V)
92 fvpr1g 6931 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9341, 91, 8, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9493neeq1d 3046 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
95 fvexd 6660 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
96 fvpr2g 6932 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9727, 95, 8, 96syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9897neeq1d 3046 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
9994, 98orbi12d 916 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
10090, 99mpbird 260 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
101 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
102101neeq1d 3046 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
103 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
104103neeq1d 3046 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
105102, 104rexprg 4593 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
1062, 105syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
107100, 106mpbird 260 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
10822adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
109108adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
11020fvexi 6659 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
1118, 110jctir 524 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝑌𝑆 ∈ V))
11237mapprop 44746 . . . . . 6 (((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋𝑌𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌}))
11341, 109, 27, 33, 111, 112syl221anc 1378 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌}))
114 breq1 5033 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
115 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
116115eqeq1d 2800 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
117 fveq1 6644 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
118117neeq1d 3046 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
119118rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
120114, 116, 1193anbi123d 1433 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
121120adantl 485 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
122113, 121rspcedv 3564 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
12316, 49, 107, 122mp3and 1461 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ))
124 prelpwi 5305 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
1251243adant3 1129 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
126125ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
12734, 46, 19, 20, 13islindeps 44860 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
12840, 126, 127syl2anc 587 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
129123, 128mpbird 260 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
130129ex 416 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  invgcminusg 18096  1rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627   linC clinc 44811   linDepS clindeps 44848 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-linc 44813  df-lininds 44849  df-lindeps 44851 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator