Theorem ldepspr 48964

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
2	1	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		fvex 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
4		fvex 6848	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
8	7	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ 𝑌)
9		fprg 7103	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
11		prfi 9228	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	13	fvexi 6849	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
16	10, 12, 15	fdmfifsupp 9282	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
17	7	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
19		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	19, 20, 21	lmod1cl 20878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
23		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	22, 23	anim12ci 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
26		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	19	lmodfgrp 20858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
30		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
32	20, 31	grpinvcl 18957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
34		snlindsntor.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
35		snlindsntor.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}
38	34, 19, 20, 35, 36, 37	lincvalpr 48909	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
39	18, 25, 27, 33, 38	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
40		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
41	23	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
43	41, 27, 42	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
44	40, 43	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)))
45		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
46		snlindsntor.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
47	34, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31	ldepsprlem 48963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
48	44, 45, 47	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
49	39, 48	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
50	19	lmodring 20857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
52		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
53	20, 52, 21	01eq0ring 20501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
54		sneq 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = {(1r‘𝑅)})
55	54	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r‘𝑅)}))
56		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)}))
57		elsni 4585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → 𝐴 = (1r‘𝑅))
58		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
59	58	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌)))
60	26	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
61	60	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
62	34, 19, 35, 21	lmodvs1 20879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
64	63	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
65		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
67	66	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
69	64, 68	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
70	69	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
72	59, 71	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
73	57, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
74	56, 73	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
75	74	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
77	55, 76	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
79	53, 78	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
80	79	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
81	51, 80	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
82	81	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
83	50, 82	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
84	83	imp31 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
85		orc 868	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
86	84, 85	pm2.61d1 180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
87	13	eqeq2i 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
88	87	necon3abii 2979	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
89	88	orbi1i 914	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
90	86, 89	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
91		fvexd 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
92		fvpr1g 7139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
93	41, 91, 8, 92	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
94	93	neeq1d 2992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
95		fvexd 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
96		fvpr2g 7140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
97	27, 95, 8, 96	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
98	97	neeq1d 2992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
99	94, 98	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
100	90, 99	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
101		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
102	101	neeq1d 2992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
103		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
104	103	neeq1d 2992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
105	102, 104	rexprg 4642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
106	2, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
107	100, 106	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
108	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
109	108	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
110	20	fvexi 6849	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
111	8, 110	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V))
112	37	mapprop 48837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
113	41, 109, 27, 33, 111, 112	syl221anc 1384	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌}))
114		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
115		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
116	115	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
117		fveq1 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
118	117	neeq1d 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
119	118	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
120	114, 116, 119	3anbi123d 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
121	120	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
122	113, 121	rspcedv 3558	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
123	16, 49, 107, 122	mp3and 1467	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ))
124		prelpwi 5395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
125	124	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
126	125	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
127	34, 46, 19, 20, 13	islindeps 48944	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
128	40, 126, 127	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑m {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
129	123, 128	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
130	129	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  LModclmod 20849   linC clinc 48895   linDepS clindeps 48932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-linc 48897  df-lininds 48933  df-lindeps 48935

This theorem is referenced by: (None)