Theorem ldepspr 43270

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
2	1	ad2antlr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		fvex 6459	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
4		fvex 6459	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 464	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7		simp3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
8	7	ad2antlr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ≠ 𝑌)
9		fprg 6688	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ V ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1439	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r‘𝑅), ((invg‘𝑅)‘𝐴)})
11		prfi 8523	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	13	fvexi 6460	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
16	10, 12, 15	fdmfifsupp 8573	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
17	7	anim2i 610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
18	17	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
19		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
20		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
21		eqid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	19, 20, 21	lmod1cl 19282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
23		simp1 1127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	22, 23	anim12ci 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
25	24	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆))
26		simp2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28	19	lmodfgrp 19264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
29	28	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
30		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
31		eqid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
32	20, 31	grpinvcl 17854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
34		snlindsntor.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
35		snlindsntor.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
36		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
37		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}
38	34, 19, 20, 35, 36, 37	lincvalpr 43215	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
39	18, 25, 27, 33, 38	syl112anc 1442	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
40		simpll 757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
41	23	ad2antlr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42	30	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
43	41, 27, 42	3jca 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
44	40, 43	jca 507	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)))
45		simprr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
46		snlindsntor.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
47	34, 19, 20, 13, 46, 35, 21, 31	ldepsprlem 43269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
48	44, 45, 47	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r‘𝑅) · 𝑋)(+g‘𝑀)(((invg‘𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
49	39, 48	eqtrd 2813	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
50	19	lmodring 19263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51		eqcom 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ↔ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅))
52		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
53	20, 52, 21	01eq0ring 19669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
54		sneq 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → {(0g‘𝑅)} = {(1r‘𝑅)})
55	54	eqeq2d 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r‘𝑅)}))
56		eleq2 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ 𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)}))
57		elsni 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → 𝐴 = (1r‘𝑅))
58		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
59	58	eqeq2d 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌)))
60	26	anim1i 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
61	60	ancomd 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
62	34, 19, 35, 21	lmodvs1 19283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
64	63	eqeq2d 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
65		eqneqall 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 ≠ 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
67	66	3ad2ant3 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68	67	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
69	64, 68	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
70	69	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
71	70	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑋 = ((1r‘𝑅) · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
72	59, 71	syl6bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 = (1r‘𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
73	57, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ {(1r‘𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
74	56, 73	syl6bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
75	74	impd 400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 = {(1r‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
77	55, 76	syl6bi 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
78	77	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → (𝑆 = {(0g‘𝑅)} → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
79	53, 78	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) = (1r‘𝑅)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
80	79	ex 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) = (1r‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
81	51, 80	syl5bi 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
82	81	com25 99	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
83	50, 82	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
84	83	imp31 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
85		orc 856	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
86	84, 85	pm2.61d1 173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
87	13	eqeq2i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝑅) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
88	87	necon3abii 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
89	88	orbi1i 900	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
90	86, 89	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
91		fvexd 6461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ V)
92		fvpr1g 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
93	41, 91, 8, 92	syl3anc 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r‘𝑅))
94	93	neeq1d 3027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 0 ))
95		fvexd 6461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V)
96		fvpr2g 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
97	27, 95, 8, 96	syl3anc 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg‘𝑅)‘𝐴))
98	97	neeq1d 3027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
99	94, 98	orbi12d 905	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r‘𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
100	90, 99	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
101		fveq2 6446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
102	101	neeq1d 3027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
103		fveq2 6446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
104	103	neeq1d 3027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
105	102, 104	rexprg 4463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
106	2, 105	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
107	100, 106	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
108	22	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
109	108	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
110	20	fvexi 6460	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
111	8, 110	jctir 516	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V))
112	37	mapprop 43132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}))
113	41, 109, 27, 33, 111, 112	syl221anc 1449	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌}))
114		breq1 4889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
115		oveq1 6929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
116	115	eqeq1d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
117		fveq1 6445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
118	117	neeq1d 3027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
119	118	rexbidv 3236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
120	114, 116, 119	3anbi123d 1509	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
121	120	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
122	113, 121	rspcedv 3514	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r‘𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg‘𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
123	16, 49, 107, 122	mp3and 1537	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 ))
124		prelpwi 5147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
125	124	3adant3 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
126	125	ad2antlr 717	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
127	34, 46, 19, 20, 13	islindeps 43250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
128	40, 126, 127	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆 ↑𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓‘𝑣) ≠ 0 )))
129	123, 128	mpbird 249	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
130	129	ex 403	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090  Vcvv 3397  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  {cpr 4399  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  inv_gcminusg 17810  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  LModclmod 19255   linC clinc 43201   linDepS clindeps 43238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-linc 43203  df-lininds 43239  df-lindeps 43241

This theorem is referenced by: (None)