Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ztprmneprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ztprmneprm 47102
Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
ztprmneprm ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem ztprmneprm
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12574 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 elnn0 12476 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3 elnn1uz2 12911 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
54adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
65eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†” (1 ยท ๐ด) = ๐ต))
7 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98mullidd 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1110eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†” ๐ด = ๐ต))
1211biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
146, 13sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
1514ex 413 . . . . . . . 8 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
16 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
18 nprm 16627 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
1917, 18sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
20 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐ต โˆˆ โ„™))
2120notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™))
22 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ๐ด = ๐ต))
2621, 25syl6bi 252 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
2726com3l 89 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
2819, 27mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
2928ex 413 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
3015, 29jaoi 855 . . . . . . 7 ((๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
313, 30sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
32 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
3332eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†” (0 ยท ๐ด) = ๐ต))
34 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3534nnred 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
36 mul02lem2 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3938eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†” 0 = ๐ต))
40 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
41 elnnne0 12488 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰  0))
42 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
4342eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = ๐ต โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โ‰  0 โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4641, 45sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4847adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4939, 48sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด = ๐ต))
5133, 50syl6bi 252 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
5251com23 86 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
5331, 52jaoi 855 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
542, 53sylbi 216 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
55 elnnz 12570 . . . . . 6 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘))
56 lt0neg1 11722 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
5734nngt0d 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ 0 < ๐ด)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ 0 < ๐ด)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘ < 0)
6058, 59anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ (๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด))
6160orcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ((๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < ๐‘ โˆง ๐ด < 0)))
62 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6335adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6562, 64mul2lt0bi 13082 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ((๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < ๐‘ โˆง ๐ด < 0))))
6661, 65mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) < 0)
6766ex 413 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) < 0))
68 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ๐ต < 0))
6968adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ๐ต < 0))
70 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
71 nn0nlt0 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
7271pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7440, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7769, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7877ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต)))
7978com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8067, 79syldc 48 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8180ex 413 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ < 0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8256, 81sylbird 259 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8382adantld 491 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8455, 83biimtrid 241 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8584imp 407 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8654, 85jaoi 855 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
871, 86sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
88873impib 1116 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250  -cneg 11447  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  zlmodzxznm  47256
  Copyright terms: Public domain W3C validator