Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ztprmneprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ztprmneprm 46863
Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
ztprmneprm ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ztprmneprm
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12559 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)))
2 elnn0 12461 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0))
3 elnn1uz2 12896 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)))
4 oveq1 7403 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 = 1 → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
54adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
65eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐵))
7 prmz 16599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 12654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℂ)
98mullidd 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1211biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1312adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
146, 13sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1514ex 414 . . . . . . . 8 (𝑍 = 1 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
16 prmuz2 16620 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
18 nprm 16612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
1917, 18sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
20 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐵 ∈ ℙ))
2120notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ))
22 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵))
2621, 25syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵)))
2726com3l 89 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
2819, 27mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
2928ex 414 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3015, 29jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
313, 30sylbi 216 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
32 oveq1 7403 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 0 → (𝑍 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3332eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (0 · 𝐴) = 𝐵))
34 prmnn 16598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
3534nnred 12214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℝ)
36 mul02lem2 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → (0 · 𝐴) = 0)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 · 𝐴) = 0)
3938eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
40 prmnn 16598 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℙ → 𝐵 ∈ ℕ)
41 elnnne0 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
42 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4342eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ≠ 0 → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4641, 45sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℙ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4847adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4939, 48sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((0 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵))
5133, 50syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵)))
5251com23 86 . . . . . 6 (𝑍 = 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
5331, 52jaoi 856 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
542, 53sylbi 216 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
55 elnnz 12555 . . . . . 6 (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍))
56 lt0neg1 11707 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 ↔ 0 < -𝑍))
5734nngt0d 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 0 < 𝐴)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 0 < 𝐴)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → 𝑍 < 0)
6058, 59anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
6160orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0)))
62 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝑍 ∈ ℝ)
6335adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6562, 64mul2lt0bi 13067 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0))))
6661, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 · 𝐴) < 0)
6766ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → (𝑍 · 𝐴) < 0))
68 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
70 nnnn0 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
71 nn0nlt0 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐵 < 0)
7271pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7440, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7769, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7877ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵)))
7978com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8067, 79syldc 48 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8180ex 414 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8256, 81sylbird 260 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℝ → (0 < -𝑍 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8382adantld 492 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8455, 83biimtrid 241 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8584imp 408 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8654, 85jaoi 856 . . 3 ((𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
871, 86sylbi 216 . 2 (𝑍 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
88873impib 1117 1 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102   < clt 11235  -cneg 11432  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  cz 12545  cuz 12809  cprime 16595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12962  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-dvds 16185  df-prm 16596
This theorem is referenced by:  zlmodzxznm  47018
  Copyright terms: Public domain W3C validator