Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ztprmneprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ztprmneprm 46513
Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
ztprmneprm ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem ztprmneprm
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12521 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 elnn0 12423 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
3 elnn1uz2 12858 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
4 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
54adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
65eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†” (1 ยท ๐ด) = ๐ต))
7 prmz 16559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
87zcnd 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98mullidd 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†” ๐ด = ๐ต))
1211biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
1312adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
146, 13sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = 1 โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
1514ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
16 prmuz2 16580 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
18 nprm 16572 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
1917, 18sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
20 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐ต โˆˆ โ„™))
2120notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™))
22 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = ๐ต))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ๐ด = ๐ต))
2621, 25syl6bi 253 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
2726com3l 89 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
2819, 27mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
2928ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
3015, 29jaoi 856 . . . . . . 7 ((๐‘ = 1 โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
313, 30sylbi 216 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
32 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
3332eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†” (0 ยท ๐ด) = ๐ต))
34 prmnn 16558 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3534nnred 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
36 mul02lem2 11340 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
3938eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†” 0 = ๐ต))
40 prmnn 16558 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
41 elnnne0 12435 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†” (๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰  0))
42 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
4342eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = ๐ต โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โ‰  0 โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4641, 45sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4847adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
4939, 48sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((0 ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด = ๐ต))
5133, 50syl6bi 253 . . . . . . 7 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด = ๐ต)))
5251com23 86 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
5331, 52jaoi 856 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
542, 53sylbi 216 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
55 elnnz 12517 . . . . . 6 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘))
56 lt0neg1 11669 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ < 0 โ†” 0 < -๐‘))
5734nngt0d 12210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„™ โ†’ 0 < ๐ด)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ 0 < ๐ด)
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘ < 0)
6058, 59anim12ci 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ (๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด))
6160orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ((๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < ๐‘ โˆง ๐ด < 0)))
62 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
6335adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6562, 64mul2lt0bi 13029 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ((๐‘ < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < ๐‘ โˆง ๐ด < 0))))
6661, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) < 0)
6766ex 414 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) < 0))
68 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ๐ต < 0))
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†” ๐ต < 0))
70 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
71 nn0nlt0 12447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ต < 0)
7271pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7440, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ (๐ต < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7769, 76sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต))
7877ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ๐ด = ๐ต)))
7978com23 86 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) < 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8067, 79syldc 48 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8180ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ < 0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8256, 81sylbird 260 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8382adantld 492 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((-๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < -๐‘) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8455, 83biimtrid 241 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))))
8584imp 408 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
8654, 85jaoi 856 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
871, 86sylbi 216 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต)))
88873impib 1117 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„™ โˆง ๐ต โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197  -cneg 11394  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556
This theorem is referenced by:  zlmodzxznm  46668
  Copyright terms: Public domain W3C validator