Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ztprmneprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ztprmneprm 48192
Description: A prime is not an integer multiple of another prime. (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
ztprmneprm ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem ztprmneprm
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 12625 . . 3 (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)))
2 elnn0 12526 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ0 ↔ (𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0))
3 elnn1uz2 12965 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)))
4 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 = 1 → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
54adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (𝑍 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
65eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) = 𝐵))
7 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℂ)
98mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1110eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1211biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((1 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
146, 13sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝑍 = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
1514ex 412 . . . . . . . 8 (𝑍 = 1 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
16 prmuz2 16730 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
18 nprm 16722 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
1917, 18sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ)
20 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐵 ∈ ℙ))
2120notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ))
22 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → (¬ 𝐵 ∈ ℙ → 𝐴 = 𝐵))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵))
2621, 25biimtrdi 253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → 𝐴 = 𝐵)))
2726com3l 89 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑍 · 𝐴) ∈ ℙ → ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
2819, 27mpcom 38 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ)) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
2928ex 412 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3015, 29jaoi 857 . . . . . . 7 ((𝑍 = 1 ∨ 𝑍 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
313, 30sylbi 217 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
32 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑍 = 0 → (𝑍 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3332eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 ↔ (0 · 𝐴) = 𝐵))
34 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ)
3534nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℝ)
36 mul02lem2 11436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℙ → (0 · 𝐴) = 0)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 · 𝐴) = 0)
3938eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
40 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℙ → 𝐵 ∈ ℕ)
41 elnnne0 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
42 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4342eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 = 𝐵))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ≠ 0 → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4641, 45sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℙ → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4847adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (0 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
4939, 48sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((0 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((0 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵))
5133, 50biimtrdi 253 . . . . . . 7 (𝑍 = 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 = 𝐵)))
5251com23 86 . . . . . 6 (𝑍 = 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
5331, 52jaoi 857 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℕ ∨ 𝑍 = 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
542, 53sylbi 217 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
55 elnnz 12621 . . . . . 6 (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍))
56 lt0neg1 11767 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 ↔ 0 < -𝑍))
5734nngt0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℙ → 0 < 𝐴)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 0 < 𝐴)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → 𝑍 < 0)
6058, 59anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
6160orcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0)))
62 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝑍 ∈ ℝ)
6335adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6562, 64mul2lt0bi 13139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ ((𝑍 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 𝑍𝐴 < 0))))
6661, 65mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0)) → (𝑍 · 𝐴) < 0)
6766ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → (𝑍 · 𝐴) < 0))
68 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
70 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
71 nn0nlt0 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐵 < 0)
7271pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7440, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℙ → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → (𝐵 < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7769, 76sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) ∧ (𝑍 · 𝐴) = 𝐵) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵))
7877ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵 → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → 𝐴 = 𝐵)))
7978com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) < 0 → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8067, 79syldc 48 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 0) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8180ex 412 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 < 0 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8256, 81sylbird 260 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ ℝ → (0 < -𝑍 → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8382adantld 490 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℝ → ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝑍) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8455, 83biimtrid 242 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℝ → (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))))
8584imp 406 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
8654, 85jaoi 857 . . 3 ((𝑍 ∈ ℕ0 ∨ (𝑍 ∈ ℝ ∧ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
871, 86sylbi 217 . 2 (𝑍 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵)))
88873impib 1115 1 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℙ) → ((𝑍 · 𝐴) = 𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  zlmodzxznm  48343
  Copyright terms: Public domain W3C validator