Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalpr 45293
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincvalpr.p + = (+g𝑀)
lincvalpr.f 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
lincvalpr (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
213ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6677 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 219 . . . . . 6 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
98anim2i 620 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1093ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
116eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1211biimpi 219 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1312anim2i 620 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14133ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15 fvexd 6689 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
1615anim2i 620 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑀 ∈ LMod) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
1716ancoms 462 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18173ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19 lincvalpr.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
2019mapprop 45216 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
2110, 14, 18, 20syl3anc 1372 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
22 lincvalsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2423biimpi 219 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2622eleq2i 2824 . . . . . . 7 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2726biimpi 219 . . . . . 6 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
29 prelpwi 5306 . . . . 5 ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
3025, 28, 29syl2an 599 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
31303adant1 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
32 lincval 45284 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
332, 21, 31, 32syl3anc 1372 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
34 lmodcmn 19801 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
3534adantr 484 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
36353ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
37 simpr 488 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑉𝑊)
38 simpl 486 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉𝐵)
39 simpl 486 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊𝐵)
4037, 38, 393anim123i 1152 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵))
41 3anrot 1101 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵) ↔ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4240, 41sylib 221 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4319a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
4443fveq1d 6676 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
45 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝐵)
46 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑋𝑅)
4737adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝑊)
48 fvpr1g 6964 . . . . . . . 8 ((𝑉𝐵𝑋𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
4945, 46, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
5044, 49eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
5150oveq1d 7185 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉))
521adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
53 eqid 2738 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5422, 4, 53, 3lmodvscl 19770 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑅𝑉𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5552, 46, 45, 54syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5651, 55eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
57563adant3 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5819a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
5958fveq1d 6676 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
60 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
61 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
6237adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
63 fvpr2g 6965 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐵𝑌𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6559, 64eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
6665oveq1d 7185 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊))
671adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
6822, 4, 53, 3lmodvscl 19770 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑊𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
6967, 61, 60, 68syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
7066, 69eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
71703adant2 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
72 lincvalpr.p . . . 4 + = (+g𝑀)
73 fveq2 6674 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑉))
74 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
7573, 74oveq12d 7188 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
76 fveq2 6674 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑊))
77 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊𝑣 = 𝑊)
7876, 77oveq12d 7188 . . . 4 (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊))
7922, 72, 75, 78gsumpr 19194 . . 3 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊) ∧ (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
8036, 42, 57, 71, 79syl112anc 1375 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
81 lincvalsn.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
8281a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → · = ( ·𝑠𝑀))
8382eqcomd 2744 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = · )
8419fveq1i 6675 . . . . 5 (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
85383ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝐵)
86 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑋𝑅)
87863ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑋𝑅)
88373ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
8985, 87, 88, 48syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
9084, 89syl5eq 2785 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
91 eqidd 2739 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
9283, 90, 91oveq123d 7191 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
9319fveq1i 6675 . . . . 5 (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
94393ad2ant3 1136 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
95 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑌𝑅)
96953ad2ant3 1136 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
9794, 96, 88, 63syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
9893, 97syl5eq 2785 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
99 eqidd 2739 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
10083, 98, 99oveq123d 7191 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
10192, 100oveq12d 7188 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
10233, 80, 1013eqtrd 2777 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4488  {cpr 4518  cop 4522  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672   Σg cgsu 16817  CMndccmn 19024  LModclmod 19753   linC clinc 45279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-linc 45281
This theorem is referenced by:  ldepspr  45348
  Copyright terms: Public domain W3C validator