Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalpr 46489
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincvalpr.p + = (+g𝑀)
lincvalpr.f 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
Assertion
Ref Expression
lincvalpr (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
213ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 215 . . . . . 6 (𝑋𝑅𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
98anim2i 617 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1093ad2ant2 1134 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
116eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1211biimpi 215 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1312anim2i 617 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14133ad2ant3 1135 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15 fvexd 6857 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
1615anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑀 ∈ LMod) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
1716ancoms 459 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18173ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19 lincvalpr.f . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
2019mapprop 46412 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
2110, 14, 18, 20syl3anc 1371 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
22 lincvalsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
2322eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2423biimpi 215 . . . . . 6 (𝑉𝐵𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
2622eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2726biimpi 215 . . . . . 6 (𝑊𝐵𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
29 prelpwi 5404 . . . . 5 ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
3025, 28, 29syl2an 596 . . . 4 (((𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
31303adant1 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
32 lincval 46480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
332, 21, 31, 32syl3anc 1371 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
34 lmodcmn 20370 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
3534adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
36353ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
37 simpr 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) → 𝑉𝑊)
38 simpl 483 . . . . 5 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑉𝐵)
39 simpl 483 . . . . 5 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑊𝐵)
4037, 38, 393anim123i 1151 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵))
41 3anrot 1100 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵𝑊𝐵) ↔ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4240, 41sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊))
4319a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
4443fveq1d 6844 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
45 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝐵)
46 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑋𝑅)
4737adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑉𝑊)
48 fvpr1g 7136 . . . . . . . 8 ((𝑉𝐵𝑋𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
4945, 46, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
5044, 49eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
5150oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉))
521adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
53 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5422, 4, 53, 3lmodvscl 20339 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑅𝑉𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5552, 46, 45, 54syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → (𝑋( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5651, 55eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
57563adant3 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
5819a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
5958fveq1d 6844 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
60 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
61 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
6237adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
63 fvpr2g 7137 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐵𝑌𝑅𝑉𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
6559, 64eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
6665oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊))
671adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
6822, 4, 53, 3lmodvscl 20339 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑊𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
6967, 61, 60, 68syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
7066, 69eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
71703adant2 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
72 lincvalpr.p . . . 4 + = (+g𝑀)
73 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑉))
74 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
7573, 74oveq12d 7375 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
76 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑊))
77 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑊𝑣 = 𝑊)
7876, 77oveq12d 7375 . . . 4 (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊))
7922, 72, 75, 78gsumpr 19732 . . 3 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉𝐵𝑊𝐵𝑉𝑊) ∧ (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
8036, 42, 57, 71, 79syl112anc 1374 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)))
81 lincvalsn.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
8281a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → · = ( ·𝑠𝑀))
8382eqcomd 2742 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = · )
8419fveq1i 6843 . . . . 5 (𝐹𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
85383ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝐵)
86 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑉𝐵𝑋𝑅) → 𝑋𝑅)
87863ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑋𝑅)
88373ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉𝑊)
8985, 87, 88, 48syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
9084, 89eqtrid 2788 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑉) = 𝑋)
91 eqidd 2737 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
9283, 90, 91oveq123d 7378 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
9319fveq1i 6843 . . . . 5 (𝐹𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
94393ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊𝐵)
95 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑊𝐵𝑌𝑅) → 𝑌𝑅)
96953ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑌𝑅)
9794, 96, 88, 63syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
9893, 97eqtrid 2788 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹𝑊) = 𝑌)
99 eqidd 2737 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
10083, 98, 99oveq123d 7378 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
10192, 100oveq12d 7375 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (((𝐹𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) + ((𝐹𝑊)( ·𝑠𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
10233, 80, 1013eqtrd 2780 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝑊) ∧ (𝑉𝐵𝑋𝑅) ∧ (𝑊𝐵𝑌𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  𝒫 cpw 4560  {cpr 4588  cop 4592  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  LModclmod 20322   linC clinc 46475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-linc 46477
This theorem is referenced by:  ldepspr  46544
  Copyright terms: Public domain W3C validator