Theorem lincvalpr 48923

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lincvalpr.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
lincvalpr.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	anim2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
10	9	3ad2ant2 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
11	6	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	anim2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14	13	3ad2ant3 1142	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
16	15	anim2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
17	16	ancoms 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18	17	3ad2ant1 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19		lincvalpr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
20	19	mapprop 48851	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
21	10, 14, 18, 20	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
22		lincvalsn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
23	22	eleq2i 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
24	23	birani 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
25	22	eleq2i 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
26	25	birani 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
27		prelpwi 5389	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
28	24, 26, 27	syl2an 603	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
29	28	3adant1 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
30		lincval 48914	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
31	2, 21, 29, 30	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
32		lmodcmn 20904	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
33	32	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
34	33	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
35		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
36		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
37		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ 𝐵)
38	35, 36, 37	3anim123i 1158	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵))
39		3anrot 1106	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ↔ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
40	38, 39	sylib 220	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
41	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
42	41	fveq1d 6833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
43		simprl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
44		simprr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
45	35	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
46		fvpr1g 7138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
48	42, 47	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
49	48	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
50	1	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
51		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
52	22, 4, 51, 3	lmodvscl 20872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
53	50, 44, 43, 52	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
54	49, 53	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
55	54	3adant3 1139	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
56	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
57	56	fveq1d 6833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
58		simprl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
59		simprr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
60	35	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
61		fvpr2g 7139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
62	58, 59, 60, 61	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
63	57, 62	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
64	63	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
65	1	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
66	22, 4, 51, 3	lmodvscl 20872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
67	65, 59, 58, 66	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
68	64, 67	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
69	68	3adant2 1138	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
70		lincvalpr.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
71		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑉))
72		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
73	71, 72	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
74		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑊))
75		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → 𝑣 = 𝑊)
76	74, 75	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
77	22, 70, 73, 76	gsumpr 19925	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
78	34, 40, 55, 69, 77	syl112anc 1383	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
79		lincvalsn.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
80	79	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → · = ( ·𝑠 ‘𝑀))
81	80	eqcomd 2747	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
82	19	fveq1i 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
83	36	3ad2ant2 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
84		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑅)
85	84	3ad2ant2 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
86	35	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
87	83, 85, 86, 46	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
88	82, 87	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
89		eqidd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
90	81, 88, 89	oveq123d 7381	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
91	19	fveq1i 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
92	37	3ad2ant3 1142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
93		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑅)
94	93	3ad2ant3 1142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
95	92, 94, 86, 61	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
96	91, 95	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
97		eqidd 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
98	81, 96, 97	oveq123d 7381	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
99	90, 98	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
100	31, 78, 99	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  𝒫 cpw 4532  {cpr 4560  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219   Σ_g cgsu 17398  CMndccmn 19750  LModclmod 20854   linC clinc 48909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20856  df-linc 48911

This theorem is referenced by:  ldepspr  48978