Theorem lincvalpr 47186

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lincvalpr.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
lincvalpr.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	anim2i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
10	9	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
11	6	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	anim2i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14	13	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15		fvexd 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
16	15	anim2i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
17	16	ancoms 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18	17	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19		lincvalpr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
20	19	mapprop 47110	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
21	10, 14, 18, 20	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
22		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
23	22	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
24	23	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
25	24	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
26	22	eleq2i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
28	27	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
29		prelpwi 5446	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
30	25, 28, 29	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
31	30	3adant1 1128	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
32		lincval 47177	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
33	2, 21, 31, 32	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
34		lmodcmn 20664	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
35	34	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
36	35	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
37		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
38		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
39		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ 𝐵)
40	37, 38, 39	3anim123i 1149	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵))
41		3anrot 1098	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ↔ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
42	40, 41	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
43	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
44	43	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
45		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
46		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
47	37	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
48		fvpr1g 7189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
50	44, 49	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
51	50	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
52	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
53		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
54	22, 4, 53, 3	lmodvscl 20632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
55	52, 46, 45, 54	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
56	51, 55	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
57	56	3adant3 1130	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
58	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
59	58	fveq1d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
60		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
61		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
62	37	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
63		fvpr2g 7190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
65	59, 64	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
66	65	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
67	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
68	22, 4, 53, 3	lmodvscl 20632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
69	67, 61, 60, 68	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
70	66, 69	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
71	70	3adant2 1129	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
72		lincvalpr.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
73		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑉))
74		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
75	73, 74	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
76		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑊))
77		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → 𝑣 = 𝑊)
78	76, 77	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
79	22, 72, 75, 78	gsumpr 19864	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
80	36, 42, 57, 71, 79	syl112anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
81		lincvalsn.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
82	81	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → · = ( ·𝑠 ‘𝑀))
83	82	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
84	19	fveq1i 6891	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
85	38	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
86		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑅)
87	86	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
88	37	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
89	85, 87, 88, 48	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
90	84, 89	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
91		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
92	83, 90, 91	oveq123d 7432	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
93	19	fveq1i 6891	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
94	39	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
95		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑅)
96	95	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
97	94, 96, 88, 63	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
98	93, 97	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
99		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
100	83, 98, 99	oveq123d 7432	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
101	92, 100	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
102	33, 80, 101	3eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472  𝒫 cpw 4601  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205   Σ_g cgsu 17390  CMndccmn 19689  LModclmod 20614   linC clinc 47172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-linc 47174

This theorem is referenced by:  ldepspr  47241