Theorem lincvalpr 48264

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lincvalpr.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
lincvalpr.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5	4	fveq2i 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	3, 5	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
7	6	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8	7	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
9	8	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
10	9	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
11	6	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑅 → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13	12	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14	13	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
15		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
16	15	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
17	16	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
18	17	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V))
19		lincvalpr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}
20	19	mapprop 48191	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) ∧ (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
21	10, 14, 18, 20	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}))
22		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
23	22	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
24	23	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐵 → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ (Base‘𝑀))
26	22	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 ↔ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
27	26	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐵 → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ (Base‘𝑀))
29		prelpwi 5458	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑀)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
30	25, 28, 29	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
31	30	3adant1 1129	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
32		lincval 48255	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m {𝑉, 𝑊}) ∧ {𝑉, 𝑊} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
33	2, 21, 31, 32	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
34		lmodcmn 20925	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑀 ∈ CMnd)
36	35	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ CMnd)
37		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
38		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑉 ∈ 𝐵)
39		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ 𝐵)
40	37, 38, 39	3anim123i 1150	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵))
41		3anrot 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ≠ 𝑊 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ↔ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
42	40, 41	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊))
43	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
44	43	fveq1d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉))
45		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
46		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
47	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
48		fvpr1g 7210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
50	44, 49	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
51	50	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
52	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
53		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
54	22, 4, 53, 3	lmodvscl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
55	52, 46, 45, 54	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
56	51, 55	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
57	56	3adant3 1131	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
58	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝐹 = {⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩})
59	58	fveq1d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊))
60		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
61		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
62	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
63		fvpr2g 7211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
65	59, 64	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
66	65	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
67	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑀 ∈ LMod)
68	22, 4, 53, 3	lmodvscl 20893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
69	67, 61, 60, 68	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑌( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
70	66, 69	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
71	70	3adant2 1130	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)
72		lincvalpr.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
73		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑉))
74		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → 𝑣 = 𝑉)
75	73, 74	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉))
76		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑊))
77		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → 𝑣 = 𝑊)
78	76, 77	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑊 → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) = ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊))
79	22, 72, 75, 78	gsumpr 19988	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) ∈ 𝐵)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
80	36, 42, 57, 71, 79	syl112anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉, 𝑊} ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)))
81		lincvalsn.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
82	81	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → · = ( ·𝑠 ‘𝑀))
83	82	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = · )
84	19	fveq1i 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑉) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉)
85	38	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
86		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → 𝑋 ∈ 𝑅)
87	86	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑅)
88	37	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
89	85, 87, 88, 48	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑋)
90	84, 89	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑉) = 𝑋)
91		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑉 = 𝑉)
92	83, 90, 91	oveq123d 7452	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) = (𝑋 · 𝑉))
93	19	fveq1i 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑊) = ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊)
94	39	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
95		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → 𝑌 ∈ 𝑅)
96	95	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑌 ∈ 𝑅)
97	94, 96, 88, 63	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ({⟨𝑉, 𝑋⟩, ⟨𝑊, 𝑌⟩}‘𝑊) = 𝑌)
98	93, 97	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹‘𝑊) = 𝑌)
99		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → 𝑊 = 𝑊)
100	83, 98, 99	oveq123d 7452	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊) = (𝑌 · 𝑊))
101	92, 100	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (((𝐹‘𝑉)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑉) + ((𝐹‘𝑊)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑊)) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))
102	33, 80, 101	3eqtrd 2779	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ≠ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅)) → (𝐹( linC ‘𝑀){𝑉, 𝑊}) = ((𝑋 · 𝑉) + (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302   Σ_g cgsu 17487  CMndccmn 19813  LModclmod 20875   linC clinc 48250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-linc 48252

This theorem is referenced by:  ldepspr  48319