Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprmappr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprmappr 45354
Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
fprmappr ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr
StepHypRef Expression
1 3simpa 1150 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
21adantr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
3 simpr 488 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐶𝑋𝐷𝑋))
4 simpl3 1195 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝐴𝐵)
5 fprg 6970 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
62, 3, 4, 5syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7 prssi 4734 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
87adantl 485 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
96, 8fssd 6563 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
1093adant1 1132 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11 simp1 1138 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝑋𝑉)
12 prex 5325 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1312a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
1411, 13elmapd 8522 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
1510, 14mpbird 260 1 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  wss 3866  {cpr 4543  cop 4547  wf 6376  (class class class)co 7213  m cmap 8508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510
This theorem is referenced by:  mapprop  45355  fv2arycl  45667  2arymptfv  45669
  Copyright terms: Public domain W3C validator