Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprmappr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprmappr 48261
Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
fprmappr ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr
StepHypRef Expression
1 3simpa 1149 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
3 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐶𝑋𝐷𝑋))
4 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝐴𝐵)
5 fprg 7175 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
62, 3, 4, 5syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7 prssi 4821 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
87adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
96, 8fssd 6753 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
1093adant1 1131 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11 simp1 1137 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝑋𝑉)
12 prex 5437 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1312a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
1411, 13elmapd 8880 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
1510, 14mpbird 257 1 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  {cpr 4628  cop 4632  wf 6557  (class class class)co 7431  m cmap 8866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868
This theorem is referenced by:  mapprop  48262  fv2arycl  48569  2arymptfv  48571
  Copyright terms: Public domain W3C validator