Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprmappr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprmappr 48190
Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
fprmappr ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr
StepHypRef Expression
1 3simpa 1147 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
3 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐶𝑋𝐷𝑋))
4 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝐴𝐵)
5 fprg 7175 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
62, 3, 4, 5syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7 prssi 4826 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
87adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
96, 8fssd 6754 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
1093adant1 1129 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11 simp1 1135 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝑋𝑉)
12 prex 5443 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1312a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
1411, 13elmapd 8879 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
1510, 14mpbird 257 1 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  {cpr 4633  cop 4637  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867
This theorem is referenced by:  mapprop  48191  fv2arycl  48498  2arymptfv  48500
  Copyright terms: Public domain W3C validator