Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprmappr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprmappr 47183
Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
fprmappr ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr
StepHypRef Expression
1 3simpa 1147 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
21adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐴𝑈𝐵𝑊))
3 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → (𝐶𝑋𝐷𝑋))
4 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝐴𝐵)
5 fprg 7155 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
62, 3, 4, 5syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7 prssi 4824 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
87adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
96, 8fssd 6735 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
1093adant1 1129 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11 simp1 1135 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → 𝑋𝑉)
12 prex 5432 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1312a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
1411, 13elmapd 8840 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
1510, 14mpbird 257 1 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋m {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  wss 3948  {cpr 4630  cop 4634  wf 6539  (class class class)co 7412  m cmap 8826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828
This theorem is referenced by:  mapprop  47184  fv2arycl  47495  2arymptfv  47497
  Copyright terms: Public domain W3C validator