Theorem fprmappr 48306

Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fprmappr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
4		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		fprg 7109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7		prssi 4781	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
9	6, 8	fssd 6687	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
10	9	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		prex 5387	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8790	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778

This theorem is referenced by:  mapprop  48307  fv2arycl  48610  2arymptfv  48612