Theorem fprmappr 45569

Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fprmappr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
4		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		fprg 7009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7		prssi 4751	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
9	6, 8	fssd 6602	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
10	9	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		prex 5350	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8587	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
15	10, 14	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575

This theorem is referenced by:  mapprop  45570  fv2arycl  45882  2arymptfv  45884