Theorem fprmappr 48320

Description: A function with a domain of two elements as element of the mapping operator applied to a pair. (Contributed by AV, 20-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fprmappr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem fprmappr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋))
4		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
5		fprg 7145	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{𝐶, 𝐷})
7		prssi 4797	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐶, 𝐷} ⊆ 𝑋)
9	6, 8	fssd 6723	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
10	9	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋)
11		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		prex 5407	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
14	11, 13	elmapd 8854	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}) ↔ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶𝑋))
15	10, 14	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ∈ (𝑋 ↑m {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {cpr 4603  ⟨cop 4607  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842

This theorem is referenced by:  mapprop  48321  fv2arycl  48628  2arymptfv  48630