MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustrel 23931
Description: Elements of the filter base generated by the metric 𝐷 are relations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustrel ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ Rel 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustrel
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
21metustss 23930 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
3 xpss 5653 . . 3 (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† (V Γ— V)
42, 3sstrdi 3960 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (V Γ— V))
5 df-rel 5644 . 2 (Rel 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† (V Γ— V))
64, 5sylibr 233 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ Rel 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„+crp 12923  [,)cico 13275  PsMetcpsmet 20803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-psmet 20811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator