MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustto 24282
Description: Any two elements of the filter base generated by the metric 𝐷 can be compared, like for RR+ (i.e. it's totally ordered). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustto ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustto
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
21rpred 13020 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3 simplr 765 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
43rpred 13020 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
65rpred 13020 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
7 0xr 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ∈ ℝ*)
9 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
11 0le0 12317 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ 0)
13 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
14 icossico 13398 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
16 imass2 6100 . . . . . . . 8 ((0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
186, 17sylancom 586 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
19 simplrl 773 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
20 simplrr 774 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
2118, 19, 203sstr4d 4028 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2221orcd 869 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
23 simplll 771 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
2423rpred 13020 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ∈ ℝ*)
26 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2726rexrd 11268 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2811a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ≀ 0)
29 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž)
30 icossico 13398 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž)) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
3125, 27, 28, 29, 30syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
32 imass2 6100 . . . . . . . 8 ((0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3424, 33sylancom 586 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
35 simplrr 774 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
36 simplrl 773 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3734, 35, 363sstr4d 4028 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3837olcd 870 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
392, 4, 22, 38lecasei 11324 . . 3 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
4039adantlll 714 . 2 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
41 metust.1 . . . . . 6 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4241metustel 24279 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4342biimpa 475 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
44433adant3 1130 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
45 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑏))
4645imaeq2d 6058 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4746cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4847rneqi 5935 . . . . . . 7 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4941, 48eqtri 2758 . . . . . 6 𝐹 = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
5049metustel 24279 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5150biimpa 475 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
52513adant2 1129 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
53 reeanv 3224 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5444, 52, 53sylanbrc 581 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5540, 54r19.29vva 3211 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„+crp 12978  [,)cico 13330  PsMetcpsmet 21128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-rp 12979  df-ico 13334
This theorem is referenced by:  metustfbas  24286
  Copyright terms: Public domain W3C validator