MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustto 24062
Description: Any two elements of the filter base generated by the metric 𝐷 can be compared, like for RR+ (i.e. it's totally ordered). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustto ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustto
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
21rpred 13016 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3 simplr 768 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
43rpred 13016 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
65rpred 13016 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
7 0xr 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ∈ ℝ*)
9 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
11 0le0 12313 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ 0)
13 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
14 icossico 13394 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
16 imass2 6102 . . . . . . . 8 ((0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
186, 17sylancom 589 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
19 simplrl 776 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
20 simplrr 777 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
2118, 19, 203sstr4d 4030 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2221orcd 872 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
23 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
2423rpred 13016 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ∈ ℝ*)
26 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2726rexrd 11264 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2811a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ≀ 0)
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž)
30 icossico 13394 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž)) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
3125, 27, 28, 29, 30syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
32 imass2 6102 . . . . . . . 8 ((0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3424, 33sylancom 589 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
35 simplrr 777 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
36 simplrl 776 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3734, 35, 363sstr4d 4030 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3837olcd 873 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
392, 4, 22, 38lecasei 11320 . . 3 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
4039adantlll 717 . 2 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
41 metust.1 . . . . . 6 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4241metustel 24059 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4342biimpa 478 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
44433adant3 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
45 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑏))
4645imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4746cbvmptv 5262 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4847rneqi 5937 . . . . . . 7 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4941, 48eqtri 2761 . . . . . 6 𝐹 = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
5049metustel 24059 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5150biimpa 478 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
52513adant2 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
53 reeanv 3227 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5444, 52, 53sylanbrc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5540, 54r19.29vva 3214 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  [,)cico 13326  PsMetcpsmet 20928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-rp 12975  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  metustfbas  24066
  Copyright terms: Public domain W3C validator