MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustto 24061
Description: Any two elements of the filter base generated by the metric 𝐷 can be compared, like for RR+ (i.e. it's totally ordered). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustto ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustto
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
21rpred 13015 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
3 simplr 767 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
43rpred 13015 . . . 4 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
5 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ+)
65rpred 13015 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
7 0xr 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ∈ ℝ*)
9 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
109rexrd 11263 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
11 0le0 12312 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 0 ≀ 0)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
14 icossico 13393 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ π‘Ž ≀ 𝑏)) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏))
16 imass2 6101 . . . . . . . 8 ((0[,)π‘Ž) βŠ† (0[,)𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
186, 17sylancom 588 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
19 simplrl 775 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
20 simplrr 776 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
2118, 19, 203sstr4d 4029 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2221orcd 871 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ π‘Ž ≀ 𝑏) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
23 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
2423rpred 13015 . . . . . . 7 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
257a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ∈ ℝ*)
26 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
2726rexrd 11263 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
2811a1i 11 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 0 ≀ 0)
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝑏 ≀ π‘Ž)
30 icossico 13393 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž)) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
3125, 27, 28, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž))
32 imass2 6101 . . . . . . . 8 ((0[,)𝑏) βŠ† (0[,)π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3424, 33sylancom 588 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)) βŠ† (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
35 simplrr 776 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
36 simplrl 775 . . . . . 6 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
3734, 35, 363sstr4d 4029 . . . . 5 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
3837olcd 872 . . . 4 ((((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) ∧ 𝑏 ≀ π‘Ž) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
392, 4, 22, 38lecasei 11319 . . 3 (((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
4039adantlll 716 . 2 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
41 metust.1 . . . . . 6 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4241metustel 24058 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4342biimpa 477 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
44433adant3 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
45 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0[,)π‘Ž) = (0[,)𝑏))
4645imaeq2d 6059 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4746cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4847rneqi 5936 . . . . . . 7 ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
4941, 48eqtri 2760 . . . . . 6 𝐹 = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
5049metustel 24058 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5150biimpa 477 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
52513adant2 1131 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏)))
53 reeanv 3226 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5444, 52, 53sylanbrc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ (𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∧ 𝐡 = (◑𝐷 β€œ (0[,)𝑏))))
5540, 54r19.29vva 3213 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐴 βŠ† 𝐡 ∨ 𝐡 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-rp 12974  df-ico 13329
This theorem is referenced by:  metustfbas  24065
  Copyright terms: Public domain W3C validator