MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustss 24280
Description: Range of the elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustss ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustss
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2 cnvimass 6079 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
3 psmetf 24032 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
42, 3fssdm 6736 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
54ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cnvexg 7917 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
7 imaexg 7908 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V)
8 elpwg 4604 . . . . . . . . 9 ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
109ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
115, 10mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
13 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1413rnmptss 7123 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
161, 15eqsstrid 4029 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 483 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
1816, 17sseldd 3982 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1918elpwid 4610 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„*cxr 11251  β„+crp 12978  [,)cico 13330  PsMetcpsmet 21128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21136
This theorem is referenced by:  metustrel  24281  metustsym  24284
  Copyright terms: Public domain W3C validator