MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustss 24415
Description: Range of the elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustss ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustss
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2 cnvimass 6074 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
3 psmetf 24167 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
42, 3fssdm 6731 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
54ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cnvexg 7914 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
7 imaexg 7903 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V)
8 elpwg 4600 . . . . . . . . 9 ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
109ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
115, 10mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1413rnmptss 7118 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
161, 15eqsstrid 4025 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
1816, 17sseldd 3978 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1918elpwid 4606 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„*cxr 11251  β„+crp 12980  [,)cico 13332  PsMetcpsmet 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21232
This theorem is referenced by:  metustrel  24416  metustsym  24419
  Copyright terms: Public domain W3C validator