MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustss 24488
Description: Range of the elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustss ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustss
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2 cnvimass 6090 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
3 psmetf 24240 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
42, 3fssdm 6747 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
54ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cnvexg 7940 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
7 imaexg 7929 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V)
8 elpwg 4609 . . . . . . . . 9 ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
115, 10mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1413rnmptss 7138 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
161, 15eqsstrid 4030 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 483 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
1816, 17sseldd 3983 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1918elpwid 4615 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  β„*cxr 11287  β„+crp 13016  [,)cico 13368  PsMetcpsmet 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8855  df-xr 11292  df-psmet 21285
This theorem is referenced by:  metustrel  24489  metustsym  24492
  Copyright terms: Public domain W3C validator