MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustss 24059
Description: Range of the elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustss ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustss
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
2 cnvimass 6080 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† dom 𝐷
3 psmetf 23811 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
42, 3fssdm 6737 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
54ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cnvexg 7914 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ◑𝐷 ∈ V)
7 imaexg 7905 . . . . . . . . 9 (◑𝐷 ∈ V β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V)
8 elpwg 4605 . . . . . . . . 9 ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ V β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)))
115, 10mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1211ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
13 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1413rnmptss 7121 . . . . 5 (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
161, 15eqsstrid 4030 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
17 simpr 485 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
1816, 17sseldd 3983 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1918elpwid 4611 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-xr 11251  df-psmet 20935
This theorem is referenced by:  metustrel  24060  metustsym  24063
  Copyright terms: Public domain W3C validator