Theorem mndlrid 18844

Description: A monoid's identity element is a two-sided identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndlrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))

Proof of Theorem mndlrid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		mndlrid.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 18834	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥))
5	1, 2, 3, 4	mgmlrid 18750	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  Mndcmnd 18824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825

This theorem is used by:  mndlid  18845  mndrid  18846  gsumvallem2  18930  gsumsubm  18931  srgidmlem  20327  ringidmlem  20396  frlmgsum  21972