Theorem frlmgsum 21681

Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
frlmgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
frlmgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlmgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		frlmgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmgsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21659	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	6	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11		ovexd 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12		frlmgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	3, 4, 13	frlmlss 21660	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16	8, 13	lssss 20842	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18		frlmgsum.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶𝐵)
20		rlmlmod 21110	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
23	22	pwslmod 20876	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	25, 13	lss0cl 20853	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
27	24, 15, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28		lmodcmn 20816	. . . . . . 7 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
29	21, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30		cmnmnd 19727	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
32	22	pwsmnd 18699	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
33	31, 2, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
34	8, 9, 25	mndlrid 18680	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
35	33, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35	gsumress 18609	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
37		rlmbas 21100	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	3, 38, 4	frlmbasf 21669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
40	2, 18, 39	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	fvmptelcdm 7085	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
43	42	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44		frlmgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
45		frlmgsum.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
46	6	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
47	13	lsssubg 20863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
48	24, 15, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
49	10, 25	subg0 19064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
51	46, 50	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	45, 51	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	44, 52	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54	22, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53	pwsgsum 19912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
55	12	mptexd 7198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈) ∈ V)
56		fvexd 6873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
57	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58		rlmplusg 21101	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
60	55, 1, 56, 57, 59	gsumpropd 18605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
61	60	mpteq2dv 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
62	54, 61	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
63	7, 36, 62	3eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403   ↑_s cpws 17409  Mndcmnd 18661  SubGrpcsubg 19052  CMndccmn 19710  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  ringLModcrglmod 21079   freeLMod cfrlm 21655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656

This theorem is referenced by:  uvcresum  21702  matgsum  22324  matunitlindflem1  37610  matunitlindflem2  37611  aacllem  49790