MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmgsum 21547
Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
frlmgsum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
frlmgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐼,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
53, 4frlmpws 21525 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
76oveq1d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
8 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
9 eqid 2731 . . 3 (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
10 eqid 2731 . . 3 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)
11 ovexd 7447 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
13 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 21526 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 20692 . . . 4 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1918fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢𝐡)
20 rlmlmod 20973 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
22 eqid 2731 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 20726 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2731 . . . . 5 (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 20702 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
2724, 15, 26syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
28 lmodcmn 20665 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 19707 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 18695 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 18679 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
3533, 34sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 18608 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
37 rlmbas 20963 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
38 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
393, 38, 4frlmbasf 21535 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
402, 18, 39syl2an2r 682 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4140fvmptelcdm 7114 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4241an32s 649 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4342anasss 466 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44 frlmgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
45 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
466fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
4713lsssubg 20713 . . . . . . . . 9 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4824, 15, 47syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4910, 25subg0 19049 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5146, 50eqtr4d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5245, 51eqtrid 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5344, 52breqtrd 5174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5422, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53pwsgsum 19892 . . 3 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
5512mptexd 7228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ) ∈ V)
56 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ V)
5737a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
58 rlmplusg 20964 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5958a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
6055, 1, 56, 57, 59gsumpropd 18604 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
6160mpteq2dv 5250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
6254, 61eqtr4d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
637, 36, 623eqtr2d 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9364  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391   ↑s cpws 17397  Mndcmnd 18660  SubGrpcsubg 19037  CMndccmn 19690  Ringcrg 20128  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  ringLModcrglmod 20928   freeLMod cfrlm 21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522
This theorem is referenced by:  uvcresum  21568  matgsum  22160  matunitlindflem1  36788  matunitlindflem2  36789  aacllem  47936
  Copyright terms: Public domain W3C validator