Theorem frlmgsum 21891

Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
frlmgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
frlmgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlmgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		frlmgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmgsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21869	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	6	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11		ovexd 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12		frlmgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	3, 4, 13	frlmlss 21870	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	1, 2, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16	8, 13	lssss 21035	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18		frlmgsum.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶𝐵)
20		rlmlmod 21302	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
21	1, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
23	22	pwslmod 21069	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
24	21, 2, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	25, 13	lss0cl 21046	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
27	24, 15, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28		lmodcmn 21009	. . . . . . 7 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
29	21, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30		cmnmnd 19867	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
31	29, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
32	22	pwsmnd 18830	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
33	31, 2, 32	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
34	8, 9, 25	mndlrid 18811	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
35	33, 34	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35	gsumress 18740	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
37		rlmbas 21292	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	3, 38, 4	frlmbasf 21879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
40	2, 18, 39	syl2an2r 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	fvmptelcdm 7109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	an32s 664	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
43	42	anasss 471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44		frlmgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
45		frlmgsum.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
46	6	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
47	13	lsssubg 21056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
48	24, 15, 47	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
49	10, 25	subg0 19198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
50	48, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
51	46, 50	eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	45, 51	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	44, 52	breqtrd 5141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54	22, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53	pwsgsum 20052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
55	12	mptexd 7223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈) ∈ V)
56		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
57	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58		rlmplusg 21293	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
60	55, 1, 56, 57, 59	gsumpropd 18736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
61	60	mpteq2dv 5209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
62	54, 61	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
63	7, 36, 62	3eqtr2d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9321  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493   ↑_s cpws 17499  Mndcmnd 18792  SubGrpcsubg 19186  CMndccmn 19850  Ringcrg 20315  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  ringLModcrglmod 21271   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by:  uvcresum  21912  matgsum  22563  matunitlindflem1  38155  matunitlindflem2  38156  aacllem  50475