Theorem frlmgsum 21318

Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
frlmgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
frlmgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlmgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		frlmgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmgsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21296	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	6	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10		eqid 2732	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11		ovexd 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12		frlmgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	3, 4, 13	frlmlss 21297	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16	8, 13	lssss 20539	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18		frlmgsum.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶𝐵)
20		rlmlmod 20819	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
23	22	pwslmod 20573	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	25, 13	lss0cl 20549	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
27	24, 15, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28		lmodcmn 20512	. . . . . . 7 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
29	21, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30		cmnmnd 19659	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
32	22	pwsmnd 18656	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
33	31, 2, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
34	8, 9, 25	mndlrid 18640	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
35	33, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35	gsumress 18597	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
37		rlmbas 20809	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	3, 38, 4	frlmbasf 21306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
40	2, 18, 39	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	fvmptelcdm 7109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
43	42	anasss 467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44		frlmgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
45		frlmgsum.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
46	6	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
47	13	lsssubg 20560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
48	24, 15, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
49	10, 25	subg0 19006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
51	46, 50	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	45, 51	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	44, 52	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54	22, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53	pwsgsum 19844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
55	12	mptexd 7222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈) ∈ V)
56		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
57	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58		rlmplusg 20810	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
60	55, 1, 56, 57, 59	gsumpropd 18593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
61	60	mpteq2dv 5249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
62	54, 61	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
63	7, 36, 62	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382   ↑_s cpws 17388  Mndcmnd 18621  SubGrpcsubg 18994  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  ringLModcrglmod 20774   freeLMod cfrlm 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293

This theorem is referenced by:  uvcresum  21339  matgsum  21930  matunitlindflem1  36472  matunitlindflem2  36473  aacllem  47801