MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 21194
Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
frlmgsum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
frlmgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐼,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
53, 4frlmpws 21172 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
61, 2, 5syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
76oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
8 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
9 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
10 eqid 2733 . . 3 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)
11 ovexd 7393 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 21173 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 20412 . . . 4 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1918fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢𝐡)
20 rlmlmod 20690 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
22 eqid 2733 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 20446 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 20422 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
2724, 15, 26syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
28 lmodcmn 20385 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 19584 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 18596 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 18580 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
3533, 34sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 18542 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
37 rlmbas 20680 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
393, 38, 4frlmbasf 21182 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
402, 18, 39syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4140fvmptelcdm 7062 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4241an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4342anasss 468 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44 frlmgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
45 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
466fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
4713lsssubg 20433 . . . . . . . . 9 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4824, 15, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4910, 25subg0 18939 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5146, 50eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5245, 51eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5344, 52breqtrd 5132 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5422, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53pwsgsum 19764 . . 3 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
5512mptexd 7175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ) ∈ V)
56 fvexd 6858 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ V)
5737a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
58 rlmplusg 20681 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5958a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
6055, 1, 56, 57, 59gsumpropd 18538 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
6160mpteq2dv 5208 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
6254, 61eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
637, 36, 623eqtr2d 2779 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327   ↑s cpws 17333  Mndcmnd 18561  SubGrpcsubg 18927  CMndccmn 19567  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  ringLModcrglmod 20646   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169
This theorem is referenced by:  uvcresum  21215  matgsum  21802  matunitlindflem1  36120  matunitlindflem2  36121  aacllem  47334
  Copyright terms: Public domain W3C validator