Theorem frlmgsum 21688

Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
frlmgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
frlmgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlmgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		frlmgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmgsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21666	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	6	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11		ovexd 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12		frlmgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	3, 4, 13	frlmlss 21667	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16	8, 13	lssss 20849	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18		frlmgsum.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶𝐵)
20		rlmlmod 21117	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
23	22	pwslmod 20883	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	25, 13	lss0cl 20860	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
27	24, 15, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28		lmodcmn 20823	. . . . . . 7 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
29	21, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30		cmnmnd 19734	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
32	22	pwsmnd 18706	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
33	31, 2, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
34	8, 9, 25	mndlrid 18687	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
35	33, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35	gsumress 18616	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
37		rlmbas 21107	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	3, 38, 4	frlmbasf 21676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
40	2, 18, 39	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	fvmptelcdm 7088	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
43	42	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44		frlmgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
45		frlmgsum.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
46	6	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
47	13	lsssubg 20870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
48	24, 15, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
49	10, 25	subg0 19071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
51	46, 50	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	45, 51	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	44, 52	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54	22, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53	pwsgsum 19919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
55	12	mptexd 7201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈) ∈ V)
56		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
57	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58		rlmplusg 21108	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
60	55, 1, 56, 57, 59	gsumpropd 18612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
61	60	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
62	54, 61	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
63	7, 36, 62	3eqtr2d 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410   ↑_s cpws 17416  Mndcmnd 18668  SubGrpcsubg 19059  CMndccmn 19717  Ringcrg 20149  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  ringLModcrglmod 21086   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by:  uvcresum  21709  matgsum  22331  matunitlindflem1  37617  matunitlindflem2  37618  aacllem  49794