Theorem frlmgsum 21714

Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
frlmgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
frlmgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
frlmgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		frlmgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		frlmgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmgsum.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	frlmpws 21692	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
7	6	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11		ovexd 7404	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12		frlmgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
14	3, 4, 13	frlmlss 21693	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
15	1, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
16	8, 13	lssss 20874	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18		frlmgsum.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)):𝐽⟶𝐵)
20		rlmlmod 21142	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
21	1, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
23	22	pwslmod 20908	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
24	21, 2, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
26	25, 13	lss0cl 20885	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
27	24, 15, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28		lmodcmn 20848	. . . . . . 7 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
29	21, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30		cmnmnd 19711	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
32	22	pwsmnd 18681	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
33	31, 2, 32	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
34	8, 9, 25	mndlrid 18662	. . . 4 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
35	33, 34	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
36	8, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35	gsumress 18591	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
37		rlmbas 21132	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	3, 38, 4	frlmbasf 21702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
40	2, 18, 39	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	fvmptelcdm 7067	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	an32s 652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
43	42	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44		frlmgsum.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
45		frlmgsum.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
46	6	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
47	13	lsssubg 20895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
48	24, 15, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
49	10, 25	subg0 19046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
51	46, 50	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	45, 51	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	44, 52	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54	22, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53	pwsgsum 19896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
55	12	mptexd 7180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈) ∈ V)
56		fvexd 6855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
57	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58		rlmplusg 21133	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
60	55, 1, 56, 57, 59	gsumpropd 18587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈)))
61	60	mpteq2dv 5196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
62	54, 61	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
63	7, 36, 62	3eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   finSupp cfsupp 9288  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379   ↑_s cpws 17385  Mndcmnd 18643  SubGrpcsubg 19034  CMndccmn 19694  Ringcrg 20153  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  ringLModcrglmod 21111   freeLMod cfrlm 21688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-dsmm 21674  df-frlm 21689

This theorem is referenced by:  uvcresum  21735  matgsum  22357  matunitlindflem1  37603  matunitlindflem2  37604  aacllem  49783