Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 20459
 Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z 0 = (0g𝑌)
frlmgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
frlmgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 20437 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
61, 2, 5syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
76oveq1d 7155 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 eqid 2822 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9 eqid 2822 . . 3 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10 eqid 2822 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11 ovexd 7175 . . 3 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 eqid 2822 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 20438 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 19699 . . . 4 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
1918fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽𝐵)
20 rlmlmod 19968 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22 eqid 2822 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 19733 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2822 . . . . 5 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 19709 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
2724, 15, 26syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28 lmodcmn 19673 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 18913 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 17937 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 17921 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
3533, 34sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 17883 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
37 rlmbas 19958 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
393, 38, 4frlmbasf 20447 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
402, 18, 39syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4140fvmptelrn 6859 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4241an32s 651 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4342anasss 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44 frlmgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
45 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
466fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
4713lsssubg 19720 . . . . . . . . 9 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
4824, 15, 47syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
4910, 25subg0 18276 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5146, 50eqtr4d 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5245, 51syl5eq 2869 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5344, 52breqtrd 5068 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5422, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53pwsgsum 19093 . . 3 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
5512mptexd 6969 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
56 fvexd 6667 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
5737a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58 rlmplusg 19959 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
6055, 1, 56, 57, 59gsumpropd 17879 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6160mpteq2dv 5138 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6254, 61eqtr4d 2860 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
637, 36, 623eqtr2d 2863 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  +gcplusg 16556  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705   ↑s cpws 16711  Mndcmnd 17902  SubGrpcsubg 18264  CMndccmn 18897  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  ringLModcrglmod 19932   freeLMod cfrlm 20433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434 This theorem is referenced by:  uvcresum  20480  matgsum  21040  matunitlindflem1  35011  matunitlindflem2  35012  aacllem  45268
 Copyright terms: Public domain W3C validator