MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 21763
Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z 0 = (0g𝑌)
frlmgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
frlmgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 21741 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
61, 2, 5syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
76oveq1d 7428 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 eqid 2726 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9 eqid 2726 . . 3 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10 eqid 2726 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11 ovexd 7448 . . 3 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 21742 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 20906 . . . 4 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
1918fmpttd 7118 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽𝐵)
20 rlmlmod 21182 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22 eqid 2726 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 20940 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2726 . . . . 5 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 20917 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
2724, 15, 26syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28 lmodcmn 20879 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 19788 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 18754 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 18738 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
3533, 34sylan 578 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 18667 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
37 rlmbas 21172 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
38 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
393, 38, 4frlmbasf 21751 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
402, 18, 39syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4140fvmptelcdm 7116 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4241an32s 650 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4342anasss 465 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
44 frlmgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
45 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
466fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
4713lsssubg 20927 . . . . . . . . 9 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
4824, 15, 47syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
4910, 25subg0 19119 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5146, 50eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5245, 51eqtrid 2778 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5344, 52breqtrd 5169 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5422, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53pwsgsum 19973 . . 3 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
5512mptexd 7230 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
56 fvexd 6905 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
5737a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
58 rlmplusg 21173 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
5958a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
6055, 1, 56, 57, 59gsumpropd 18663 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6160mpteq2dv 5245 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6254, 61eqtr4d 2769 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
637, 36, 623eqtr2d 2772 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946   class class class wbr 5143  cmpt 5226  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7413   finSupp cfsupp 9395  Basecbs 17205  s cress 17234  +gcplusg 17258  0gc0g 17446   Σg cgsu 17447  s cpws 17453  Mndcmnd 18719  SubGrpcsubg 19107  CMndccmn 19771  Ringcrg 20209  LModclmod 20829  LSubSpclss 20901  ringLModcrglmod 21143   freeLMod cfrlm 21737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-seq 14013  df-hash 14340  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17448  df-gsum 17449  df-prds 17454  df-pws 17456  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-mhm 18765  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrg 20546  df-lmod 20831  df-lss 20902  df-sra 21144  df-rgmod 21145  df-dsmm 21723  df-frlm 21738
This theorem is referenced by:  uvcresum  21784  matgsum  22424  matunitlindflem1  37327  matunitlindflem2  37328  aacllem  48582
  Copyright terms: Public domain W3C validator