MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmgsum 21333
Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
frlmgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
frlmgsum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
frlmgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐼,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
53, 4frlmpws 21311 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡))
76oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
8 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
9 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
10 eqid 2732 . . 3 (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)
11 ovexd 7446 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 21312 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 20552 . . . 4 (𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
1918fmpttd 7116 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)):𝐽⟢𝐡)
20 rlmlmod 20833 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod)
22 eqid 2732 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 20586 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 20562 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
2724, 15, 26syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐡)
28 lmodcmn 20525 . . . . . . 7 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ LMod β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 19667 . . . . . 6 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ CMnd β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 18662 . . . . 5 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 18646 . . . 4 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
3533, 34sylan 580 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ (((0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))(0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) = π‘₯))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 18603 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
37 rlmbas 20823 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
38 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
393, 38, 4frlmbasf 21321 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
402, 18, 39syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
4140fvmptelcdm 7114 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4241an32s 650 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4342anasss 467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44 frlmgsum.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
45 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
466fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
4713lsssubg 20573 . . . . . . . . 9 ((((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LSubSpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4824, 15, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
4910, 25subg0 19014 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (0gβ€˜(((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs 𝐡)))
5146, 50eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5245, 51eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5344, 52breqtrd 5174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp (0gβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5422, 37, 25, 2, 12, 29, 43, 53pwsgsum 19852 . . 3 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
5512mptexd 7228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ) ∈ V)
56 fvexd 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘…) ∈ V)
5737a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
58 rlmplusg 20824 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5958a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
6055, 1, 56, 57, 59gsumpropd 18599 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)) = ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ)))
6160mpteq2dv 5250 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((ringLModβ€˜π‘…) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
6254, 61eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
637, 36, 623eqtr2d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  +gcplusg 17199  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388   ↑s cpws 17394  Mndcmnd 18627  SubGrpcsubg 19002  CMndccmn 19650  Ringcrg 20058  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  ringLModcrglmod 20788   freeLMod cfrlm 21307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-dsmm 21293  df-frlm 21308
This theorem is referenced by:  uvcresum  21354  matgsum  21946  matunitlindflem1  36570  matunitlindflem2  36571  aacllem  47926
  Copyright terms: Public domain W3C validator