Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmgsum 20519
 Description: Finite commutative sums in a free module are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmgsum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmgsum.z 0 = (0g𝑌)
frlmgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
frlmgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
frlmgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
frlmgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frlmgsum
StepHypRef Expression
1 frlmgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmgsum.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
53, 4frlmpws 20497 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
61, 2, 5syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑌 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))
76oveq1d 6939 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 eqid 2778 . . 3 (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
9 eqid 2778 . . 3 (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
10 eqid 2778 . . 3 (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)
11 ovexd 6958 . . 3 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ V)
12 frlmgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 eqid 2778 . . . . . 6 (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
143, 4, 13frlmlss 20498 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
151, 2, 14syl2anc 579 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
168, 13lssss 19333 . . . 4 (𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → 𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
18 frlmgsum.f . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵)
1918fmpttd 6651 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)):𝐽𝐵)
20 rlmlmod 19606 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
211, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
22 eqid 2778 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
2322pwslmod 19369 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
2421, 2, 23syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod)
25 eqid 2778 . . . . 5 (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
2625, 13lss0cl 19343 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
2724, 15, 26syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) ∈ 𝐵)
28 lmodcmn 19307 . . . . . . 7 ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
2921, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd)
30 cmnmnd 18598 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝑅) ∈ CMnd → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd)
3222pwsmnd 17715 . . . . 5 (((ringLMod‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
3331, 2, 32syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd)
348, 9, 25mndlrid 17700 . . . 4 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
3533, 34sylan 575 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → (((0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))(0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) = 𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 17, 19, 27, 35gsumress 17666 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
37 rlmbas 19596 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
382adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
39 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
403, 39, 4frlmbasf 20507 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐼𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4138, 18, 40syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
42 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝑈) = (𝑥𝐼𝑈)
4342fmpt 6646 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑥𝐼𝑈):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4441, 43sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐽) → ∀𝑥𝐼 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4544r19.21bi 3114 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐽) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4645an32s 642 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
4746anasss 460 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝑅))
48 frlmgsum.w . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
49 frlmgsum.z . . . . . 6 0 = (0g𝑌)
506fveq2d 6452 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5113lsssubg 19356 . . . . . . . . 9 ((((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5224, 15, 51syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5310, 25subg0 17988 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (0g‘(((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵)))
5550, 54eqtr4d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5649, 55syl5eq 2826 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5748, 56breqtrd 4914 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5822, 37, 25, 2, 12, 29, 47, 57pwsgsum 18768 . . 3 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
59 mptexg 6758 . . . . . 6 (𝐽𝑊 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
6012, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽𝑈) ∈ V)
61 fvexd 6463 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
6237a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
63 rlmplusg 19597 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
6560, 1, 61, 62, 64gsumpropd 17662 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6665mpteq2dv 4982 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ ((ringLMod‘𝑅) Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6758, 66eqtr4d 2817 . 2 (𝜑 → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
687, 36, 673eqtr2d 2820 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   finSupp cfsupp 8565  Basecbs 16259   ↾s cress 16260  +gcplusg 16342  0gc0g 16490   Σg cgsu 16491   ↑s cpws 16497  Mndcmnd 17684  SubGrpcsubg 17976  CMndccmn 18583  Ringcrg 18938  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  ringLModcrglmod 19570   freeLMod cfrlm 20493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-hom 16366  df-cco 16367  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-prds 16498  df-pws 16500  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-subg 17979  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-subrg 19174  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-sra 19573  df-rgmod 19574  df-dsmm 20479  df-frlm 20494 This theorem is referenced by:  uvcresum  20540  matgsum  20651  matunitlindflem1  34036  matunitlindflem2  34037  aacllem  43663
 Copyright terms: Public domain W3C validator