Theorem gsumsubm 18484

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsumsubm.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		gsumsubm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		submrcl 18452	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
7		gsumsubm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1	submss 18459	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10		gsumsubm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	11	subm0cl 18461	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
13	4, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
14	1, 2, 11	mndlrid 18415	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
15	6, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 18377	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923   ↾_s cress 16952  +_gcplusg 16973  0_gc0g 17161   Σ_g cgsu 17162  Mndcmnd 18396  SubMndcsubmnd 18440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-seq 13733  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19530  resspsrmul  21197  gsumply1subr  21416  tsmssubm  23305  amgmlem  26150  lgseisenlem4  26537  fedgmullem1  31719  sge0tsms  43900  amgmwlem  46485  amgmlemALT  46486