MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubm 18794
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumsubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumsubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumsubm (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumsubm.h . 2 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
4 gsumsubm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 submrcl 18761 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumsubm.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
81submss 18768 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
94, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
10 gsumsubm.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1211subm0cl 18770 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
134, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
141, 2, 11mndlrid 18720 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
156, 14sylan 578 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 18649 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  +gcplusg 17240  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-seq 14007  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19880  resspsrmul  21926  gsumply1subr  22159  tsmssubm  24067  amgmlem  26942  lgseisenlem4  27331  ply1degltdimlem  33353  fedgmullem1  33360  sge0tsms  45797  amgmwlem  48313  amgmlemALT  48314
  Copyright terms: Public domain W3C validator