MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubm 18760
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumsubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumsubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumsubm (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumsubm.h . 2 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
4 gsumsubm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 submrcl 18727 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumsubm.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
81submss 18734 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
94, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
10 gsumsubm.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1211subm0cl 18736 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
134, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
141, 2, 11mndlrid 18686 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
156, 14sylan 579 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 18615 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19838  resspsrmul  21879  gsumply1subr  22107  tsmssubm  24002  amgmlem  26877  lgseisenlem4  27266  ply1degltdimlem  33225  fedgmullem1  33232  sge0tsms  45665  amgmwlem  48120  amgmlemALT  48121
  Copyright terms: Public domain W3C validator