Theorem gsumsubm 18715

Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumsubm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumsubm	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsumsubm.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
4		gsumsubm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		submrcl 18682	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
7		gsumsubm.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	1	submss 18689	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10		gsumsubm.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	11	subm0cl 18691	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
13	4, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
14	1, 2, 11	mndlrid 18643	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
15	6, 14	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15	gsumress 18600	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-seq 13966  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19785  resspsrmul  21536  gsumply1subr  21755  tsmssubm  23646  amgmlem  26491  lgseisenlem4  26878  ply1degltdimlem  32702  fedgmullem1  32709  sge0tsms  45086  amgmwlem  47839  amgmlemALT  47840