MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubm 17991
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsubm.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubm.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumsubm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumsubm (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2819 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 gsumsubm.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
4 gsumsubm.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5 submrcl 17959 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumsubm.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
81submss 17966 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
94, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10 gsumsubm.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
11 eqid 2819 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1211subm0cl 17968 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
134, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
141, 2, 11mndlrid 17922 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
156, 14sylan 582 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 17884 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3934  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17903  SubMndcsubmnd 17947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-seq 13362  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19030  resspsrmul  20189  gsumply1subr  20394  tsmssubm  22743  amgmlem  25559  lgseisenlem4  25946  fedgmullem1  31018  sge0tsms  42652  amgmwlem  44893  amgmlemALT  44894
  Copyright terms: Public domain W3C validator