MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubm 18650
Description: Evaluate a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubm.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumsubm.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumsubm.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsumsubm (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumsubm.h . 2 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
4 gsumsubm.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 submrcl 18618 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumsubm.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
81submss 18625 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
94, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
10 gsumsubm.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
11 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
1211subm0cl 18627 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
134, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑆)
141, 2, 11mndlrid 18580 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
156, 14sylan 581 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(0gβ€˜πΊ)) = π‘₯))
161, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 13, 15gsumress 18542 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = (𝐻 Ξ£g 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-seq 13913  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19700  resspsrmul  21402  gsumply1subr  21621  tsmssubm  23510  amgmlem  26355  lgseisenlem4  26742  ply1degltdimlem  32374  fedgmullem1  32381  sge0tsms  44707  amgmwlem  47335  amgmlemALT  47336
  Copyright terms: Public domain W3C validator