Theorem mndrid 18835

Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18833	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simprd 501	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  0_gc0g 17510  Mndcmnd 18814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815

This theorem is used by:  mndpfo  18837  issubmnd  18841  ress0gOLD  18843  submnd0OLD  18845  mndinvmod  18846  prdsidlem  18851  imasmnd  18857  xpsmnd0  18860  mndvrid  18882  mndind  18911  gsumccat  18924  grprid  19059  mhmid  19153  mhmmnd  19154  mulgnn0dir  19194  cntzsubm  19432  oppgmnd  19448  lsmub1x  19740  gsumval3  20001  gsumzsplit  20021  srgbinomlem3  20334  mndifsplit  22823  gsummatr01  22846  smadiadet  22857  pmatcollpw3fi1lem1  22973  chfacfscmulgsum  23047  chfacfpmmulgsum  23051  tsmssplit  24340  tsmsxp  24343  mndlrinv  33384  mndractf1  33388  mndractfo  33389  mndlactf1o  33390  mndractf1o  33391  gsummptres  33412  gsummptres2  33413  cntzsnid  33440  slmd0vrid  33583  mndmolinv  42895  primrootscoprbij  42902  aks6d1c1  42916  aks6d1c2lem3  42926  mndtccatid  50398