Theorem mndrid 18952

Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18950	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simprd 501	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435  0_gc0g 17617  Mndcmnd 18930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931

This theorem is used by:  mndpfoOLD  18956  issubmnd  18960  ress0gOLD  18962  submnd0OLD  18964  mndinvmod  18965  prdsidlem  18970  imasmnd  18976  xpsmnd0  18979  mndvrid  19002  mndind  19031  gsumccat  19044  grprid  19186  mhmid  19280  mhmmnd  19281  mulgnn0dir  19321  cntzsubm  19559  oppgmnd  19575  lsmub1x  19867  gsumval3  20128  gsumzsplit  20148  srgbinomlem3  20461  mndifsplit  22958  gsummatr01  22981  smadiadet  22992  pmatcollpw3fi1lem1  23111  chfacfscmulgsum  23185  chfacfpmmulgsum  23189  tsmssplit  24478  tsmsxp  24481  mndlrinv  33633  mndractf1  33637  mndractfo  33638  mndlactf1o  33639  mndractf1o  33640  gsummptres  33661  gsummptres2  33662  cntzsnid  33689  slmd0vrid  33832  mndmolinv  43252  primrootscoprbij  43259  aks6d1c1  43273  aks6d1c2lem3  43283  mndtccatid  50832