MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndrid 18646
Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p + = (+g𝐺)
mndlrid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndrid ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndlrid.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 mndlrid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
41, 2, 3mndlrid 18644 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
54simprd 497 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626
This theorem is referenced by:  mndpfo  18648  issubmnd  18652  ress0g  18653  submnd0  18654  mndinvmod  18655  prdsidlem  18657  imasmnd  18663  xpsmnd0  18666  mndind  18709  gsumccat  18722  grprid  18853  mhmid  18946  mhmmnd  18947  mulgnn0dir  18984  cntzsubm  19202  oppgmnd  19221  lsmub1x  19514  gsumval3  19775  gsumzsplit  19795  srgbinomlem3  20051  mndvrid  21896  mndifsplit  22138  gsummatr01  22161  smadiadet  22172  pmatcollpw3fi1lem1  22288  chfacfscmulgsum  22362  chfacfpmmulgsum  22366  tsmssplit  23656  tsmsxp  23659  gsummptres  32204  gsummptres2  32205  cntzsnid  32213  slmd0vrid  32368  mndtccatid  47713
  Copyright terms: Public domain W3C validator