Theorem mndrid 18648

Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18646	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180  0_gc0g 17362  Mndcmnd 18627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628

This theorem is referenced by:  mndpfo  18650  issubmnd  18654  ress0g  18655  submnd0  18656  mndinvmod  18657  prdsidlem  18662  imasmnd  18668  xpsmnd0  18671  mndvrid  18693  mndind  18721  gsumccat  18734  grprid  18866  mhmid  18961  mhmmnd  18962  mulgnn0dir  19002  cntzsubm  19236  oppgmnd  19252  lsmub1x  19544  gsumval3  19805  gsumzsplit  19825  srgbinomlem3  20132  mndifsplit  22540  gsummatr01  22563  smadiadet  22574  pmatcollpw3fi1lem1  22690  chfacfscmulgsum  22764  chfacfpmmulgsum  22768  tsmssplit  24056  tsmsxp  24059  mndlrinv  32997  mndractf1  33001  mndractfo  33002  mndlactf1o  33003  mndractf1o  33004  gsummptres  33024  gsummptres2  33025  cntzsnid  33041  slmd0vrid  33184  mndmolinv  42088  primrootscoprbij  42095  aks6d1c1  42109  aks6d1c2lem3  42119  mndtccatid  49592