Theorem mndrid 18780

Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18778	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simprd 499	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17459  Mndcmnd 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760

This theorem is referenced by:  mndpfo  18782  issubmnd  18786  ress0g  18787  submnd0  18788  mndinvmod  18789  prdsidlem  18794  imasmnd  18800  xpsmnd0  18803  mndvrid  18825  mndind  18853  gsumccat  18866  grprid  19001  mhmid  19096  mhmmnd  19097  mulgnn0dir  19137  cntzsubm  19369  oppgmnd  19385  lsmub1x  19677  gsumval3  19938  gsumzsplit  19958  srgbinomlem3  20265  mndifsplit  22684  gsummatr01  22707  smadiadet  22718  pmatcollpw3fi1lem1  22834  chfacfscmulgsum  22908  chfacfpmmulgsum  22912  tsmssplit  24200  tsmsxp  24203  mndlrinv  33163  mndractf1  33167  mndractfo  33168  mndlactf1o  33169  mndractf1o  33170  gsummptres  33193  gsummptres2  33194  cntzsnid  33221  slmd0vrid  33364  mndmolinv  42673  primrootscoprbij  42680  aks6d1c1  42694  aks6d1c2lem3  42704  mndtccatid  50169