Theorem mndrid 18809

Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndlrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndlrid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndlrid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndrid	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem mndrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndlrid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndlrid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		mndlrid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	mndlrid 18807	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 + 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 + 0 ) = 𝑋))
5	4	simprd 500	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789

This theorem is referenced by:  mndpfo  18811  issubmnd  18815  ress0g  18816  submnd0  18817  mndinvmod  18818  prdsidlem  18823  imasmnd  18829  xpsmnd0  18832  mndvrid  18854  mndind  18883  gsumccat  18896  grprid  19031  mhmid  19125  mhmmnd  19126  mulgnn0dir  19166  cntzsubm  19404  oppgmnd  19420  lsmub1x  19712  gsumval3  19973  gsumzsplit  19993  srgbinomlem3  20306  mndifsplit  22758  gsummatr01  22781  smadiadet  22792  pmatcollpw3fi1lem1  22908  chfacfscmulgsum  22982  chfacfpmmulgsum  22986  tsmssplit  24274  tsmsxp  24277  mndlrinv  33281  mndractf1  33285  mndractfo  33286  mndlactf1o  33287  mndractf1o  33288  gsummptres  33309  gsummptres2  33310  cntzsnid  33337  slmd0vrid  33480  mndmolinv  42747  primrootscoprbij  42754  aks6d1c1  42768  aks6d1c2lem3  42778  mndtccatid  50245