Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringnmulrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringnmulrd 40843
 Description: Components of a monoid ring other than its ring product match its underlying free module. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringnmulrd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringnmulrd.2 𝐸 = Slot 𝑁
mnringnmulrd.3 𝑁 ∈ ℕ
mnringnmulrd.4 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
mnringnmulrd.5 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringnmulrd.6 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnringnmulrd.7 (𝜑𝑅𝑈)
mnringnmulrd.8 (𝜑𝑀𝑊)
Assertion
Ref Expression
mnringnmulrd (𝜑 → (𝐸𝑉) = (𝐸𝐹))

Proof of Theorem mnringnmulrd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringnmulrd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 mnringnmulrd.5 . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑀)
5 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
6 mnringnmulrd.6 . . . 4 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
7 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
8 mnringnmulrd.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝑈)
9 mnringnmulrd.8 . . . 4 (𝜑𝑀𝑊)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mnringvald 40842 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩))
1110fveq2d 6666 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩)))
12 mnringnmulrd.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
13 mnringnmulrd.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
1412, 13ndxid 16512 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1512, 13ndxarg 16511 . . . 4 (𝐸‘ndx) = 𝑁
16 mnringnmulrd.4 . . . 4 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
1715, 16eqnetri 3084 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1814, 17setsnid 16542 . 2 (𝐸𝑉) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩))
1911, 18syl6reqr 2878 1 (𝜑 → (𝐸𝑉) = (𝐸𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ifcif 4451  ⟨cop 4557   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℕcn 11637  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Slot cslot 16485  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  0gc0g 16716   Σg cgsu 16717   freeLMod cfrlm 20893   MndRing cmnring 40840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-1cn 10594  ax-addcl 10596 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-nn 11638  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-mnring 40841 This theorem is referenced by:  mnringbased  40844  mnringaddgd  40849  mnringscad  40853  mnringvscad  40854
 Copyright terms: Public domain W3C validator