Theorem mnringnmulrd 41280

Description: Components of a monoid ring other than its ring product match its underlying free module. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringnmulrd.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringnmulrd.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mnringnmulrd.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mnringnmulrd.4	⊢ 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
mnringnmulrd.5	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringnmulrd.6	⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnringnmulrd.7	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringnmulrd.8	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringnmulrd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑉) = (𝐸‘𝐹))

Proof of Theorem mnringnmulrd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringnmulrd.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mnringnmulrd.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16552	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	1, 2	ndxarg 16551	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
5		mnringnmulrd.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
6	4, 5	eqnetri 3019	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	3, 6	setsnid 16582	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑉) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏), ((𝑥‘𝑎)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑏)), (0g‘𝑅))))))⟩))
8		mnringnmulrd.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
9		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11		mnringnmulrd.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
12		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
13		mnringnmulrd.6	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
14		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
15		mnringnmulrd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
16		mnringnmulrd.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
17	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mnringvald 41279	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏), ((𝑥‘𝑎)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑏)), (0g‘𝑅))))))⟩))
18	17	fveq2d 6655	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐴 ↦ (𝑖 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g‘𝑀)𝑏), ((𝑥‘𝑎)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑏)), (0g‘𝑅))))))⟩)))
19	7, 18	eqtr4id 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑉) = (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ifcif 4413  ⟨cop 4521   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ∈ cmpo 7145  ℕcn 11659  ndxcnx 16523   sSet csts 16524  Slot cslot 16525  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608  ._rcmulr 16609  0_gc0g 16756   Σ_g cgsu 16757   freeLMod cfrlm 20496   MndRing cmnring 41277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-1cn 10618  ax-addcl 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-nn 11660  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-sets 16533  df-mnring 41278

This theorem is referenced by:  mnringbased  41281  mnringaddgd  41286  mnringscad  41290  mnringvscad  41291