Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnringnmulrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnringnmulrd 40843
Description: Components of a monoid ring other than its ring product match its underlying free module. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mnringnmulrd.1 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringnmulrd.2 𝐸 = Slot 𝑁
mnringnmulrd.3 𝑁 ∈ ℕ
mnringnmulrd.4 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
mnringnmulrd.5 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringnmulrd.6 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnringnmulrd.7 (𝜑𝑅𝑈)
mnringnmulrd.8 (𝜑𝑀𝑊)
Assertion
Ref Expression
mnringnmulrd (𝜑 → (𝐸𝑉) = (𝐸𝐹))

Proof of Theorem mnringnmulrd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnringnmulrd.1 . . . 4 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
2 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2824 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 mnringnmulrd.5 . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑀)
5 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑀)
6 mnringnmulrd.6 . . . 4 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
7 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
8 mnringnmulrd.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝑈)
9 mnringnmulrd.8 . . . 4 (𝜑𝑀𝑊)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mnringvald 40842 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩))
1110fveq2d 6666 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐹) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩)))
12 mnringnmulrd.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
13 mnringnmulrd.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
1412, 13ndxid 16512 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1512, 13ndxarg 16511 . . . 4 (𝐸‘ndx) = 𝑁
16 mnringnmulrd.4 . . . 4 𝑁 ≠ (.r‘ndx)
1715, 16eqnetri 3084 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
1814, 17setsnid 16542 . 2 (𝐸𝑉) = (𝐸‘(𝑉 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑉), 𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↦ (𝑉 Σg (𝑎𝐴, 𝑏𝐴 ↦ (𝑖𝐴 ↦ if(𝑖 = (𝑎(+g𝑀)𝑏), ((𝑥𝑎)(.r𝑅)(𝑦𝑏)), (0g𝑅))))))⟩))
1911, 18syl6reqr 2878 1 (𝜑 → (𝐸𝑉) = (𝐸𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  ifcif 4451  cop 4557  cmpt 5133  cfv 6344  (class class class)co 7150  cmpo 7152  cn 11637  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Slot cslot 16485  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  0gc0g 16716   Σg cgsu 16717   freeLMod cfrlm 20893   MndRing cmnring 40840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-1cn 10594  ax-addcl 10596
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-nn 11638  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-sets 16493  df-mnring 40841
This theorem is referenced by:  mnringbased  40844  mnringaddgd  40849  mnringscad  40853  mnringvscad  40854
  Copyright terms: Public domain W3C validator