Theorem mnringbased 42068

Description: The base set of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (Proof shortened by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringbased.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringbased.2	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
mnringbased.3	⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
mnringbased.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
mnringbased.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringbased.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringbased	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem mnringbased

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringbased.4	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
2		mnringbased.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
3		baseid 16989	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17079	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5		mnringbased.2	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑀)
6		mnringbased.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑅 freeLMod 𝐴)
7		mnringbased.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
8		mnringbased.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mnringnmulrd 42066	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐹))
10	1, 9	eqtrid 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  Basecbs 16986   freeLMod cfrlm 21033   MndRing cmnring 42063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-mulr 17050  df-mnring 42064

This theorem is referenced by:  mnringbaserd  42070  mnring0gd  42076  mnringlmodd  42083