Theorem mnringscad 43896

Description: The scalar ring of a monoid ring. (Contributed by Rohan Ridenour, 14-May-2024.) (Proof shortened by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnringscad.1	⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
mnringscad.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
mnringscad.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mnringscad	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Proof of Theorem mnringscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnringscad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑈)
2		fvex 6914	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀)) = (𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))
4	3	frlmsca 21751	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑈 ∧ (Base‘𝑀) ∈ V) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
5	1, 2, 4	sylancl 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))))
6		mnringscad.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 MndRing 𝑀)
7		scaid 17329	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
8		scandxnmulrndx 17332	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
10		mnringscad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 3, 1, 10	mnringnmulrd 43883	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (Base‘𝑀))) = (Scalar‘𝐹))
12	5, 11	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269   freeLMod cfrlm 21744   MndRing cmnring 43880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-prds 17462  df-pws 17464  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mnring 43881

This theorem is referenced by:  mnringlmodd  43900