Theorem mnurnd 44734

Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnurnd.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnurnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
mnurnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mnurnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnurnd	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnurnd.1	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnurnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3		mnurnd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	3	elexd 3456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	iftrued 4469	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
6	5, 3	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7		mnurnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
8	5	feq2d 6646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑈))
9	7, 8	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10		0ex 5236	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elimel 4531	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
12	1, 2, 6, 9, 11	mnurndlem2 44733	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ifcif 4461  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4845  ran crn 5626  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-reg 9504

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-eprel 5525  df-fr 5578  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  mnugrud  44735