Theorem mnurnd 44252

Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnurnd.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnurnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
mnurnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mnurnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnurnd	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnurnd.1	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnurnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3		mnurnd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	3	elexd 3512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	iftrued 4556	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
6	5, 3	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7		mnurnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
8	5	feq2d 6733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑈))
9	7, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10		0ex 5325	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elimel 4617	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
12	1, 2, 6, 9, 11	mnurndlem2 44251	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ran crn 5701  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-reg 9661

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-eprel 5599  df-fr 5652  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  mnugrud  44253