Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnurnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnurnd 41882
Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mnurnd.1 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
mnurnd.2 (𝜑𝑈𝑀)
mnurnd.3 (𝜑𝐴𝑈)
mnurnd.4 (𝜑𝐹:𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
mnurnd (𝜑 → ran 𝐹𝑈)
Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd
StepHypRef Expression
1 mnurnd.1 . 2 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙𝑘 (𝒫 𝑙𝑘 ∧ ∀𝑚𝑛𝑘 (𝒫 𝑙𝑛 ∧ ∀𝑝𝑙 (∃𝑞𝑘 (𝑝𝑞𝑞𝑚) → ∃𝑟𝑚 (𝑝𝑟 𝑟𝑛))))}
2 mnurnd.2 . 2 (𝜑𝑈𝑀)
3 mnurnd.3 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
43elexd 3449 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
54iftrued 4467 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
65, 3eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7 mnurnd.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝑈)
85feq2d 6578 . . 3 (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈𝐹:𝐴𝑈))
97, 8mpbird 256 . 2 (𝜑𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10 0ex 5229 . . 3 ∅ ∈ V
1110elimel 4528 . 2 if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
121, 2, 6, 9, 11mnurndlem2 41881 1 (𝜑 → ran 𝐹𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3429  wss 3886  c0 4256  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533   cuni 4839  ran crn 5585  wf 6422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-reg 9338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-eprel 5490  df-fr 5539  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-fv 6434
This theorem is referenced by:  mnugrud  41883
  Copyright terms: Public domain W3C validator