Theorem mnurnd 41790

Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnurnd.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnurnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
mnurnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mnurnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnurnd	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnurnd.1	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnurnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3		mnurnd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	3	elexd 3442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	iftrued 4464	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
6	5, 3	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7		mnurnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
8	5	feq2d 6570	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑈))
9	7, 8	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10		0ex 5226	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elimel 4525	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
12	1, 2, 6, 9, 11	mnurndlem2 41789	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ran crn 5581  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-reg 9281

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-eprel 5486  df-fr 5535  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  mnugrud  41791