Theorem mnurnd 44976

Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnurnd.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnurnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
mnurnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mnurnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnurnd	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnurnd.1	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnurnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3		mnurnd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	3	elexd 3478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	iftrued 4496	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
6	5, 3	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7		mnurnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
8	5	feq2d 6691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑈))
9	7, 8	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10		0ex 5271	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elimel 4558	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
12	1, 2, 6, 9, 11	mnurndlem2 44975	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4873  ran crn 5664  ⟶wf 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-reg 9555

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-eprel 5563  df-fr 5616  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  mnugrud  44977