Theorem mnurnd 44279

Description: Minimal universes contain ranges of functions from an element of the universe to the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnurnd.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnurnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
mnurnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mnurnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mnurnd	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐴(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnurnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnurnd.1	. 2 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnurnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3		mnurnd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4	3	elexd 3502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	iftrued 4539	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) = 𝐴)
6	5, 3	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ 𝑈)
7		mnurnd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
8	5	feq2d 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑈))
9	7, 8	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅)⟶𝑈)
10		0ex 5313	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
11	10	elimel 4600	. 2 ⊢ if(𝐴 ∈ V, 𝐴, ∅) ∈ V
12	1, 2, 6, 9, 11	mnurndlem2 44278	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ran crn 5690  ⟶wf 6559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-reg 9630

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-eprel 5589  df-fr 5641  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  mnugrud  44280