Theorem mnugrud 44714

Description: Minimal universes are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnugrud.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnugrud.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mnugrud	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnugrud

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnugrud.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnugrud.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3	1, 2	mnutrd 44710	. 2 ⊢ (𝜑 → Tr 𝑈)
4	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 4, 5	mnupwd 44697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
8	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	1, 7, 8, 9	mnuprd 44706	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	10	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
12	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑈 ∈ 𝑀)
13	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
14		elmapi 8787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
16	1, 12, 13, 15	mnurnd 44713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ran 𝑦 ∈ 𝑈)
17	1, 12, 16	mnuunid 44707	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
18	17	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
19	6, 11, 18	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
20	19	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
21		elgrug 10704	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑀 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
22	2, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
23	3, 20, 22	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ∪ cuni 4851  Tr wtr 5193  ran crn 5623  ⟶wf 6486  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Univcgru 10702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-reg 9498

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-fr 5575  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8766  df-gru 10703

This theorem is referenced by:  grumnueq  44717