Theorem mnugrud 45034

Description: Minimal universes are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnugrud.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnugrud.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mnugrud	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑞, 𝑝, 𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑞, 𝑝, 𝑙)

Proof of Theorem mnugrud

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnugrud.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnugrud.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3	1, 2	mnutrd 45030	. 2 ⊢ (𝜑 → Tr 𝑈)
4	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 4, 5	mnupwd 45017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
8	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	1, 7, 8, 9	mnuprd 45026	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	10	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
12	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑈 ∈ 𝑀)
13	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
14		elmapi 8855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
16	1, 12, 13, 15	mnurnd 45033	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ran 𝑦 ∈ 𝑈)
17	1, 12, 16	mnuunid 45027	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
18	17	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
19	6, 11, 18	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
20	19	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
21		elgrug 10795	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑀 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
22	2, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
23	3, 20, 22	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {cpr 4596  ∪ cuni 4877  Tr wtr 5223  ran crn 5667  ⟶wf 6539  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Univcgru 10793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-reg 9564

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-fr 5619  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835  df-gru 10794

This theorem is used by:  grumnueq  45037