Theorem mnugrud 45361

Description: Minimal universes are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnugrud.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnugrud.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mnugrud	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑞, 𝑝, 𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑞, 𝑝, 𝑙)

Proof of Theorem mnugrud

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnugrud.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnugrud.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3	1, 2	mnutrd 45357	. 2 ⊢ (𝜑 → Tr 𝑈)
4	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 4, 5	mnupwd 45344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
8	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	1, 7, 8, 9	mnuprd 45353	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	10	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
12	2	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑈 ∈ 𝑀)
13	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
14		elmapi 8872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
16	1, 12, 13, 15	mnurnd 45360	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ran 𝑦 ∈ 𝑈)
17	1, 12, 16	mnuunid 45354	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
18	17	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
19	6, 11, 18	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
20	19	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
21		elgrug 10880	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑀 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
22	2, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
23	3, 20, 22	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211  ran crn 5651  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  Univcgru 10878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9589

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-fr 5603  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-gru 10879

This theorem is used by:  grumnueq  45364