Theorem mnugrud 44798

Description: Minimal universes are Grothendieck universes. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mnugrud.1	⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
mnugrud.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mnugrud	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑝,𝑙   𝑈,𝑞,𝑘,𝑚,𝑛,𝑝,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑘,𝑚,𝑛,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem mnugrud

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnugrud.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑘 ∣ ∀𝑙 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑘 ∧ ∀𝑚∃𝑛 ∈ 𝑘 (𝒫 𝑙 ⊆ 𝑛 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝑙 (∃𝑞 ∈ 𝑘 (𝑝 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ∈ 𝑚) → ∃𝑟 ∈ 𝑚 (𝑝 ∈ 𝑟 ∧ ∪ 𝑟 ⊆ 𝑛))))}
2		mnugrud.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑀)
3	1, 2	mnutrd 44794	. 2 ⊢ (𝜑 → Tr 𝑈)
4	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
5		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
6	1, 4, 5	mnupwd 44781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	2	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑀)
8	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
10	1, 7, 8, 9	mnuprd 44790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	10	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
12	2	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑈 ∈ 𝑀)
13	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
14		elmapi 8815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
15	14	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → 𝑦:𝑥⟶𝑈)
16	1, 12, 13, 15	mnurnd 44797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ran 𝑦 ∈ 𝑈)
17	1, 12, 16	mnuunid 44791	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
18	17	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈)
19	6, 11, 18	3jca 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
20	19	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))
21		elgrug 10736	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑀 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
22	2, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑈 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑈))))
23	3, 20, 22	mpbir2and 721	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095  ∀wal 1548   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {cab 2730  ∀wral 3066  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4545  {cpr 4574  ∪ cuni 4855  Tr wtr 5197  ran crn 5637  ⟶wf 6502  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792  Univcgru 10734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-reg 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-fr 5589  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-map 8794  df-gru 10735

This theorem is referenced by:  grumnueq  44801