Theorem mofsn2 49090

Description: There is at most one function into a singleton. An unconditional variant of mofsn 49089, i.e., the singleton could be empty if 𝑌 is a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mofsn2	⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem mofsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mofsn 49089	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
3		feq3 6642	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
4	3	mobidv 2549	. . . 4 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
6	2, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = {𝑌})
8		snprc 4674	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → {𝑌} = ∅)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → {𝑌} = ∅)
11	7, 10	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
12		mof02 49084	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
14	6, 13	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  mofsssn  49091  mofmo  49092