Theorem mofsn2 49623

Description: There is at most one function into a singleton. An unconditional variant of mofsn 49622, i.e., the singleton could be empty if 𝑌 is a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mofsn2	⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem mofsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mofsn 49622	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
2	1	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
3		feq3 6685	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
4	3	mobidv 2577	. . . 4 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
6	2, 5	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
7		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = {𝑌})
8		snprc 4683	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
9	8	bilani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → {𝑌} = ∅)
10	7, 9	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
11		mof02 49617	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
13	6, 12	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟶wf 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  mofsssn  49624  mofmo  49625