Theorem mofsn2 48849

Description: There is at most one function into a singleton. An unconditional variant of mofsn 48848, i.e., the singleton could be empty if 𝑌 is a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mofsn2	⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem mofsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mofsn 48848	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
3		feq3 6636	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
4	3	mobidv 2542	. . . 4 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
6	2, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = {𝑌})
8		snprc 4671	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → {𝑌} = ∅)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → {𝑌} = ∅)
11	7, 10	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
12		mof02 48843	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
14	6, 13	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  Vcvv 3438  ∅c0 4286  {csn 4579  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  mofsssn  48850  mofmo  48851