Theorem mofsn2 46901

Description: There is at most one function into a singleton. An unconditional variant of mofsn 46900, i.e., the singleton could be empty if 𝑌 is a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 19-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mofsn2	⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem mofsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mofsn 46900	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌})
3		feq3 6651	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
4	3	mobidv 2547	. . . 4 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → (∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶{𝑌}))
6	2, 5	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
7		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = {𝑌})
8		snprc 4678	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
9	8	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → {𝑌} = ∅)
10	9	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → {𝑌} = ∅)
11	7, 10	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
12		mof02 46895	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 = {𝑌} ∧ ¬ 𝑌 ∈ V) → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
14	6, 13	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝐵 = {𝑌} → ∃*𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536  Vcvv 3445  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟶wf 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504

This theorem is referenced by:  mofsssn  46902  mofmo  46903