MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulidnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulidnq 10906
Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)

Proof of Theorem mulidnq
StepHypRef Expression
1 1nq 10871 . . 3 1Q โˆˆ Q
2 mulpqnq 10884 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)))
4 relxp 5656 . . . . . . 7 Rel (N ร— N)
5 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
6 1st2nd 7976 . . . . . . 7 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
8 df-1nq 10859 . . . . . . 7 1Q = โŸจ1o, 1oโŸฉ
98a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ 1Q = โŸจ1o, 1oโŸฉ)
107, 9oveq12d 7380 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ))
11 xp1st 7958 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
13 xp2nd 7959 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
145, 13syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
15 1pi 10826 . . . . . . 7 1o โˆˆ N
1615a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ 1o โˆˆ N)
17 mulpipq 10883 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โˆง (1o โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ)
1812, 14, 16, 16, 17syl22anc 838 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ)
19 mulidpi 10829 . . . . . . . 8 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
21 mulidpi 10829 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (2nd โ€˜๐ด))
2213, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (2nd โ€˜๐ด))
2320, 22opeq12d 4843 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
245, 23syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
2510, 18, 243eqtrd 2781 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
2625, 7eqtr4d 2780 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = ๐ด)
2726fveq2d 6851 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)) = ([Q]โ€˜๐ด))
28 nqerid 10876 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = ๐ด)
293, 27, 283eqtrd 2781 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   ร— cxp 5636  Rel wrel 5643  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  1oc1o 8410  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   ยทpQ cmpq 10792  Qcnq 10795  1Qc1q 10796  [Q]cerq 10797   ยทQ cmq 10799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859
This theorem is referenced by:  recmulnq  10907  ltaddnq  10917  halfnq  10919  ltrnq  10922  addclprlem1  10959  addclprlem2  10960  mulclprlem  10962  1idpr  10972  prlem934  10976  prlem936  10990  reclem3pr  10992
  Copyright terms: Public domain W3C validator