MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulidnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulidnq 10994
Description: Multiplication identity element for positive fractions. (Contributed by NM, 3-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulidnq (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)

Proof of Theorem mulidnq
StepHypRef Expression
1 1nq 10959 . . 3 1Q โˆˆ Q
2 mulpqnq 10972 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)))
31, 2mpan2 689 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)))
4 relxp 5700 . . . . . . 7 Rel (N ร— N)
5 elpqn 10956 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
6 1st2nd 8049 . . . . . . 7 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
8 df-1nq 10947 . . . . . . 7 1Q = โŸจ1o, 1oโŸฉ
98a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ 1Q = โŸจ1o, 1oโŸฉ)
107, 9oveq12d 7444 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ))
11 xp1st 8031 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
125, 11syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
13 xp2nd 8032 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
145, 13syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
15 1pi 10914 . . . . . . 7 1o โˆˆ N
1615a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ 1o โˆˆ N)
17 mulpipq 10971 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โˆง (1o โˆˆ N โˆง 1o โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ)
1812, 14, 16, 16, 17syl22anc 837 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ ยทpQ โŸจ1o, 1oโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ)
19 mulidpi 10917 . . . . . . . 8 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (1st โ€˜๐ด))
21 mulidpi 10917 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (2nd โ€˜๐ด))
2213, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o) = (2nd โ€˜๐ด))
2320, 22opeq12d 4886 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
245, 23syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN 1o), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN 1o)โŸฉ = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
2510, 18, 243eqtrd 2772 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
2625, 7eqtr4d 2771 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทpQ 1Q) = ๐ด)
2726fveq2d 6906 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ 1Q)) = ([Q]โ€˜๐ด))
28 nqerid 10964 . 2 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ([Q]โ€˜๐ด) = ๐ด)
293, 27, 283eqtrd 2772 1 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ 1Q) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  Rel wrel 5687  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  1oc1o 8486  Ncnpi 10875   ยทN cmi 10877   ยทpQ cmpq 10880  Qcnq 10883  1Qc1q 10884  [Q]cerq 10885   ยทQ cmq 10887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ni 10903  df-mi 10905  df-lti 10906  df-mpq 10940  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-mq 10946  df-1nq 10947
This theorem is referenced by:  recmulnq  10995  ltaddnq  11005  halfnq  11007  ltrnq  11010  addclprlem1  11047  addclprlem2  11048  mulclprlem  11050  1idpr  11060  prlem934  11064  prlem936  11078  reclem3pr  11080
  Copyright terms: Public domain W3C validator