Theorem op1stg 7947

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4830	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4831	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6843	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3445	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3445	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7943	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3530	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4587  ‘cfv 6493  1^st c1st 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-1st 7935

This theorem is referenced by:  ot1stg  7949  ot2ndg  7950  br1steqg  7957  1stconst  8044  mposn  8047  curry2  8051  opco1  8067  mpoxopn0yelv  8157  mpoxopoveq  8163  xpmapenlem  9076  1stinl  9843  1stinr  9845  fpwwe  10561  addpipq  10852  mulpipq  10855  ordpipq  10857  swrdval  14571  ruclem1  16160  qnumdenbi  16675  setsstruct  17107  oppccofval  17643  funcf2  17796  cofuval2  17815  resfval2  17821  resf1st  17822  isnat  17878  fucco  17893  homadm  17968  setcco  18011  estrcco  18057  xpcco  18110  xpchom2  18113  xpcco2  18114  evlf2  18145  curfval  18150  curf1cl  18155  uncf1  18163  uncf2  18164  diag11  18170  diag12  18171  diag2  18172  hof2fval  18182  yonedalem21  18200  yonedalem22  18205  mvmulfval  22490  imasdsf1olem  24321  ovolicc1  25477  ioombl1lem3  25521  ioombl1lem4  25522  addsqnreup  27414  addsval  27962  mulsval  28109  brcgr  28977  opvtxfv  29081  fgreu  32752  fsuppcurry2  32806  erlbrd  33347  rlocaddval  33352  rlocmulval  33353  fracerl  33390  sategoelfvb  35615  prv1n  35627  fvtransport  36228  bj-inftyexpiinv  37415  bj-finsumval0  37492  poimirlem17  37840  poimirlem24  37847  poimirlem27  37850  rngoablo2  38112  dvhopvadd  41421  dvhopvsca  41430  dvhopaddN  41442  dvhopspN  41443  etransclem44  46589  ovnsubaddlem1  46881  ovnlecvr2  46921  ovolval5lem2  46964  gpgedgiov  48378  gpgedg2ov  48379  gpgedg2iv  48380  rngccoALTV  48584  ringccoALTV  48618  func1st  49389  oppf1st2nd  49443  upfval3  49490  swapf1val  49579  fucofval  49631  fuco111  49642  fuco21  49648  fucoid  49660  precofval3  49683  prcofvala  49689  prcofval  49690  lanfval  49925  ranfval  49926