Theorem op1stg 7954

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4817	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6848	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3433	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3433	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7950	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3517	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498  1^st c1st 7940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-1st 7942

This theorem is referenced by:  ot1stg  7956  ot2ndg  7957  br1steqg  7964  1stconst  8050  mposn  8053  curry2  8057  opco1  8073  mpoxopn0yelv  8163  mpoxopoveq  8169  xpmapenlem  9082  1stinl  9851  1stinr  9853  fpwwe  10569  addpipq  10860  mulpipq  10863  ordpipq  10865  swrdval  14606  ruclem1  16198  qnumdenbi  16714  setsstruct  17146  oppccofval  17682  funcf2  17835  cofuval2  17854  resfval2  17860  resf1st  17861  isnat  17917  fucco  17932  homadm  18007  setcco  18050  estrcco  18096  xpcco  18149  xpchom2  18152  xpcco2  18153  evlf2  18184  curfval  18189  curf1cl  18194  uncf1  18202  uncf2  18203  diag11  18209  diag12  18210  diag2  18211  hof2fval  18221  yonedalem21  18239  yonedalem22  18244  mvmulfval  22507  imasdsf1olem  24338  ovolicc1  25483  ioombl1lem3  25527  ioombl1lem4  25528  addsqnreup  27406  addsval  27954  mulsval  28101  brcgr  28969  opvtxfv  29073  fgreu  32744  fsuppcurry2  32798  erlbrd  33324  rlocaddval  33329  rlocmulval  33330  fracerl  33367  sategoelfvb  35601  prv1n  35613  fvtransport  36214  bj-inftyexpiinv  37522  bj-finsumval0  37599  poimirlem17  37958  poimirlem24  37965  poimirlem27  37968  rngoablo2  38230  dvhopvadd  41539  dvhopvsca  41548  dvhopaddN  41560  dvhopspN  41561  etransclem44  46706  ovnsubaddlem1  46998  ovnlecvr2  47038  ovolval5lem2  47081  gpgedgiov  48541  gpgedg2ov  48542  gpgedg2iv  48543  rngccoALTV  48747  ringccoALTV  48781  func1st  49552  oppf1st2nd  49606  upfval3  49653  swapf1val  49742  fucofval  49794  fuco111  49805  fuco21  49811  fucoid  49823  precofval3  49846  prcofvala  49852  prcofval  49853  lanfval  50088  ranfval  50089