Theorem op1stg 8001

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4837	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6890	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3457	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3457	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7997	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  1^st c1st 7987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-1st 7989

This theorem is used by:  ot1stg  8003  ot2ndg  8004  br1steqg  8011  1stconst  8100  mposn  8103  curry2  8107  opco1  8123  mpoxopn0yelv  8214  mpoxopoveq  8220  xpmapenlem  9145  1stinl  9935  1stinr  9937  fpwwe  10658  addpipq  10949  mulpipq  10952  ordpipq  10954  swrdval  14713  ruclem1  16323  qnumdenbi  16839  setsstruct  17272  oppccofval  17808  funcf2  17961  cofuval2  17980  resfval2  17986  resf1st  17987  isnat  18043  fucco  18058  homadm  18133  setcco  18176  estrcco  18222  xpcco  18275  xpchom2  18278  xpcco2  18279  evlf2  18310  curfval  18315  curf1cl  18320  uncf1  18328  uncf2  18329  diag11  18335  diag12  18336  diag2  18337  hof2fval  18347  yonedalem21  18365  yonedalem22  18370  mvmulfval  22765  imasdsf1olem  24600  ovolicc1  25745  ioombl1lem3  25789  ioombl1lem4  25790  addsqnreup  27677  addsval  28225  mulsval  28372  brcgr  29343  opvtxfv  29447  fgreu  33131  fsuppcurry2  33183  erlbrd  33690  erld2  33693  rlocaddval  33696  rlocmulval  33697  fracerl  33734  sategoelfvb  35985  prv1n  35997  fvtransport  36599  bj-inftyexpiinv  37947  bj-finsumval0  38024  poimirlem17  38373  poimirlem24  38380  poimirlem27  38383  rngoablo2  38646  dvhopvadd  41953  dvhopvsca  41962  dvhopaddN  41974  dvhopspN  41975  etransclem44  47093  ovnsubaddlem1  47385  ovnlecvr2  47425  ovolval5lem2  47468  gpgedgiov  48968  gpgedg2ov  48969  gpgedg2iv  48970  rngccoALTV  49173  ringccoALTV  49207  func1st  49990  oppf1st2nd  50044  upfval3  50091  swapf1val  50180  fucofval  50232  fuco111  50243  fuco21  50249  fucoid  50261  precofval3  50284  prcofvala  50290  prcofval  50291  lanfval  50526  ranfval  50527