Theorem op1stg 7959

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4833	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4834	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6848	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3448	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3448	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7955	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3537	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591  ‘cfv 6499  1^st c1st 7945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-1st 7947

This theorem is referenced by:  ot1stg  7961  ot2ndg  7962  br1steqg  7969  1stconst  8056  mposn  8059  curry2  8063  opco1  8079  mpoxopn0yelv  8169  mpoxopoveq  8175  xpmapenlem  9085  1stinl  9856  1stinr  9858  fpwwe  10575  addpipq  10866  mulpipq  10869  ordpipq  10871  swrdval  14584  ruclem1  16175  qnumdenbi  16690  setsstruct  17122  oppccofval  17657  funcf2  17810  cofuval2  17829  resfval2  17835  resf1st  17836  isnat  17892  fucco  17907  homadm  17982  setcco  18025  estrcco  18071  xpcco  18124  xpchom2  18127  xpcco2  18128  evlf2  18159  curfval  18164  curf1cl  18169  uncf1  18177  uncf2  18178  diag11  18184  diag12  18185  diag2  18186  hof2fval  18196  yonedalem21  18214  yonedalem22  18219  mvmulfval  22462  imasdsf1olem  24294  ovolicc1  25450  ioombl1lem3  25494  ioombl1lem4  25495  addsqnreup  27387  addsval  27909  mulsval  28052  brcgr  28880  opvtxfv  28984  fgreu  32646  fsuppcurry2  32699  erlbrd  33230  rlocaddval  33235  rlocmulval  33236  fracerl  33272  sategoelfvb  35399  prv1n  35411  fvtransport  36013  bj-inftyexpiinv  37189  bj-finsumval0  37266  poimirlem17  37624  poimirlem24  37631  poimirlem27  37634  rngoablo2  37896  dvhopvadd  41080  dvhopvsca  41089  dvhopaddN  41101  dvhopspN  41102  etransclem44  46269  ovnsubaddlem1  46561  ovnlecvr2  46601  ovolval5lem2  46644  gpgedgiov  48049  gpgedg2ov  48050  gpgedg2iv  48051  rngccoALTV  48252  ringccoALTV  48286  func1st  49059  oppf1st2nd  49113  upfval3  49160  swapf1val  49249  fucofval  49301  fuco111  49312  fuco21  49318  fucoid  49330  precofval3  49353  prcofvala  49359  prcofval  49360  lanfval  49595  ranfval  49596