Theorem op1stg 7945

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4828	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4829	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6841	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3443	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3443	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7941	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3528	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4585  ‘cfv 6491  1^st c1st 7931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fv 6499  df-1st 7933

This theorem is referenced by:  ot1stg  7947  ot2ndg  7948  br1steqg  7955  1stconst  8042  mposn  8045  curry2  8049  opco1  8065  mpoxopn0yelv  8155  mpoxopoveq  8161  xpmapenlem  9074  1stinl  9841  1stinr  9843  fpwwe  10559  addpipq  10850  mulpipq  10853  ordpipq  10855  swrdval  14569  ruclem1  16158  qnumdenbi  16673  setsstruct  17105  oppccofval  17641  funcf2  17794  cofuval2  17813  resfval2  17819  resf1st  17820  isnat  17876  fucco  17891  homadm  17966  setcco  18009  estrcco  18055  xpcco  18108  xpchom2  18111  xpcco2  18112  evlf2  18143  curfval  18148  curf1cl  18153  uncf1  18161  uncf2  18162  diag11  18168  diag12  18169  diag2  18170  hof2fval  18180  yonedalem21  18198  yonedalem22  18203  mvmulfval  22488  imasdsf1olem  24319  ovolicc1  25475  ioombl1lem3  25519  ioombl1lem4  25520  addsqnreup  27412  addsval  27942  mulsval  28089  brcgr  28954  opvtxfv  29058  fgreu  32729  fsuppcurry2  32783  erlbrd  33324  rlocaddval  33329  rlocmulval  33330  fracerl  33367  sategoelfvb  35592  prv1n  35604  fvtransport  36205  bj-inftyexpiinv  37382  bj-finsumval0  37459  poimirlem17  37807  poimirlem24  37814  poimirlem27  37817  rngoablo2  38079  dvhopvadd  41388  dvhopvsca  41397  dvhopaddN  41409  dvhopspN  41410  etransclem44  46559  ovnsubaddlem1  46851  ovnlecvr2  46891  ovolval5lem2  46934  gpgedgiov  48348  gpgedg2ov  48349  gpgedg2iv  48350  rngccoALTV  48554  ringccoALTV  48588  func1st  49359  oppf1st2nd  49413  upfval3  49460  swapf1val  49549  fucofval  49601  fuco111  49612  fuco21  49618  fucoid  49630  precofval3  49653  prcofvala  49659  prcofval  49660  lanfval  49895  ranfval  49896