Theorem op1stg 7996

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
op1stg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

Proof of Theorem op1stg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝑦⟩)
2	1	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩))
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴))
5		opeq2 4838	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑦⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	5	fveqeq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((1st ‘⟨𝐴, 𝑦⟩) = 𝐴 ↔ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴))
7		vex 3458	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		vex 3458	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
9	7, 8	op1st 7992	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
10	4, 6, 9	vtocl2g 3537	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  1^st c1st 7982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-1st 7984

This theorem is used by:  ot1stg  7998  ot2ndg  7999  br1steqg  8006  1stconst  8093  mposn  8096  curry2  8100  opco1  8116  mpoxopn0yelv  8207  mpoxopoveq  8213  xpmapenlem  9130  1stinl  9920  1stinr  9922  fpwwe  10637  addpipq  10928  mulpipq  10931  ordpipq  10933  swrdval  14688  ruclem1  16293  qnumdenbi  16809  setsstruct  17242  oppccofval  17778  funcf2  17931  cofuval2  17950  resfval2  17956  resf1st  17957  isnat  18013  fucco  18028  homadm  18103  setcco  18146  estrcco  18192  xpcco  18245  xpchom2  18248  xpcco2  18249  evlf2  18280  curfval  18285  curf1cl  18290  uncf1  18298  uncf2  18299  diag11  18305  diag12  18306  diag2  18307  hof2fval  18317  yonedalem21  18335  yonedalem22  18340  mvmulfval  22710  imasdsf1olem  24541  ovolicc1  25686  ioombl1lem3  25730  ioombl1lem4  25731  addsqnreup  27618  addsval  28166  mulsval  28313  brcgr  29261  opvtxfv  29365  fgreu  33027  fsuppcurry2  33081  erlbrd  33592  erld2  33595  rlocaddval  33598  rlocmulval  33599  fracerl  33636  sategoelfvb  35919  prv1n  35931  fvtransport  36532  bj-inftyexpiinv  37880  bj-finsumval0  37957  poimirlem17  38316  poimirlem24  38323  poimirlem27  38326  rngoablo2  38588  dvhopvadd  41895  dvhopvsca  41904  dvhopaddN  41916  dvhopspN  41917  etransclem44  47020  ovnsubaddlem1  47312  ovnlecvr2  47352  ovolval5lem2  47395  gpgedgiov  48858  gpgedg2ov  48859  gpgedg2iv  48860  rngccoALTV  49064  ringccoALTV  49098  func1st  49883  oppf1st2nd  49937  upfval3  49984  swapf1val  50073  fucofval  50125  fuco111  50136  fuco21  50142  fucoid  50154  precofval3  50177  prcofvala  50183  prcofval  50184  lanfval  50419  ranfval  50420