MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulpqnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulpqnq 10972
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 28-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulpqnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))

Proof of Theorem mulpqnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mq 10946 . . . . 5 ยทQ = (([Q] โˆ˜ ยทpQ ) โ†พ (Q ร— Q))
21fveq1i 6903 . . . 4 ( ยทQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ ยทpQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
32a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( ยทQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ((([Q] โˆ˜ ยทpQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
4 opelxpi 5719 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (Q ร— Q))
54fvresd 6922 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((([Q] โˆ˜ ยทpQ ) โ†พ (Q ร— Q))โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = (([Q] โˆ˜ ยทpQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
6 df-mpq 10940 . . . . 5 ยทpQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
7 opex 5470 . . . . 5 โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ โˆˆ V
86, 7fnmpoi 8080 . . . 4 ยทpQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N))
9 elpqn 10956 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
10 elpqn 10956 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
11 opelxpi 5719 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
129, 10, 11syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
13 fvco2 7000 . . . 4 (( ยทpQ Fn ((N ร— N) ร— (N ร— N)) โˆง โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ ((N ร— N) ร— (N ร— N))) โ†’ (([Q] โˆ˜ ยทpQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( ยทpQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
148, 12, 13sylancr 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (([Q] โˆ˜ ยทpQ )โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( ยทpQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
153, 5, 143eqtrd 2772 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ( ยทQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ) = ([Q]โ€˜( ยทpQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)))
16 df-ov 7429 . 2 (๐ด ยทQ ๐ต) = ( ยทQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
17 df-ov 7429 . . 3 (๐ด ยทpQ ๐ต) = ( ยทpQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
1817fveq2i 6905 . 2 ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)) = ([Q]โ€˜( ยทpQ โ€˜โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ))
1915, 16, 183eqtr4g 2793 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ด ยทpQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680   โ†พ cres 5684   โˆ˜ ccom 5686   Fn wfn 6548  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  Ncnpi 10875   ยทN cmi 10877   ยทpQ cmpq 10880  Qcnq 10883  [Q]cerq 10885   ยทQ cmq 10887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-mpq 10940  df-nq 10943  df-mq 10946
This theorem is referenced by:  mulclnq  10978  mulcomnq  10984  mulerpq  10988  mulassnq  10990  distrnq  10992  mulidnq  10994  ltmnq  11003
  Copyright terms: Public domain W3C validator